Transforme numa só potência, sendo a base um número real não-nulo:
7^{9} \cdot 7^{-6}

Passo 1

O enunciado pede para transformar numa só potência (com base real não-nula) a expressão \,7^{9}\cdot 7^{-6}\,. As informações relevantes são:
  • A expressão dada é \,7^{9}\cdot 7^{-6}\,.
  • A base é o número real 7, que é não-nulo.
  • O objetivo é escrever essa expressão como uma única potência com base 7.

Passo 2

Vamos usar a regra de potências que vale sempre que a base é a mesma: \,a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\,.
Explicando essa fórmula de forma bem direta:
  • a é a base (aqui um número real não-nulo).
  • m e n são expoentes inteiros (podem ser positivos, zero ou negativos).
    Por que a regra funciona?
  • Se m e n são positivos, \,a^{m}=a\cdot a\cdots a (m fatores) e \,a^{n}=a\cdot a\cdots a (n fatores). Multiplicando aparece m+n fatores a, logo \,a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.
  • Se um dos expoentes é negativo, lembra que \,a^{-k}=\dfrac{1}{a^{k}}\,. Por exemplo, \,a^{m}\cdot a^{-k}=a^{m}\cdot \dfrac{1}{a^{k}}=\dfrac{a^{m}}{a^{k}}=a^{m-k}, que é a mesma fórmula com n=-k. Assim a regra \,a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\, vale em geral.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso com a=7, m=9 e n=-6:
7^{9}\cdot 7^{-6}=7^{\,9+(-6)}.
Calcule o expoente:
9+(-6)=3.
Portanto
7^{9}\cdot 7^{-6}=7^{3}.

Passo 4

Se quiser também o valor numérico da potência: calcule \,7^{3}\,:
7^{3}=7\cdot7\cdot7=49\cdot7=343.
Resumo: como potência única fica \,7^{3}\, e seu valor é \,343.

Resposta

\,7^{3}=343\,

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