Transforme numa só potência, sendo a base um número real não-nulo:
\left(\frac{x^{2}}{x^{-3}}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para escrever como uma só potência (com base um número real não-nulo) a expressão
\left(\frac{x^{2}}{x^{-3}}\right)^{2}.
Informações dadas e condição importante:
  • A expressão é \left(\dfrac{x^{2}}{x^{-3}}\right)^{2}.
  • A base deve ser um número real não-nulo, portanto x \neq 0.
  • O objetivo final é obter uma única potência do tipo x^{k} (com x\neq0).

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro (divisão de potências com mesma base):
\text{Se }a\neq0,\qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},
onde a é a base (número real não-nulo) e m,n são expoentes (podem ser inteiros, racionais, etc.). Exemplo rápido: \dfrac{2^{5}}{2^{2}}=2^{5-2}=2^{3}=8.

Passo 3

Aplicando essa regra ao quociente dentro dos parênteses:
\frac{x^{2}}{x^{-3}}=x^{\,2-(-3)}.
Calcule a diferença dos expoentes:
2-(-3)=2+3=5.
Portanto
\frac{x^{2}}{x^{-3}}=x^{5},
valendo sempre que x\neq0.

Passo 4

Regra que vamos usar agora (potência de potência):
\text{Se }a\neq0,\qquad (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n},
onde a é a base e m,n são expoentes. Exemplo: (2^{3})^{4}=2^{3\cdot4}=2^{12}.

Passo 5

Aplicando a regra da potência de potência à expressão já simplificada:
\left(\frac{x^{2}}{x^{-3}}\right)^{2}=\bigl(x^{5}\bigr)^{2}=x^{5\cdot2}.
Multiplicando os expoentes:
5\cdot2=10,
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\left(\frac{x^{2}}{x^{-3}}\right)^{2}=x^{10},
com a condição x\neq0.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para confirmar): usar \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}. Teríamos
\left(\frac{x^{2}}{x^{-3}}\right)^{2}=\frac{(x^{2})^{2}}{(x^{-3})^{2}}=\frac{x^{4}}{x^{-6}}=x^{4-(-6)}=x^{10},
chegando ao mesmo resultado.

Resposta

x^{10}

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