Transforme numa só potência, sendo a base um número real não-nulo:
2^{7}: 2^{-2}

Passo 1

O enunciado dá a expressão a transformar numa só potência com base real não-nula. Informação dada:
  • A expressão é 2^{7}: 2^{-2}.
    O que se pede:
  • Escrever essa expressão como uma única potência cuja base é um número real não-nulo.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa potência e divisão de potências com a mesma base, sem resolver ainda.
  • Para uma base a (com a \neq 0) e expoentes inteiros m e n, a potência a^{m} significa multiplicar a por si mesmo m vezes quando m>0.
  • A divisão de potências de mesma base é uma operação que reduz os fatores semelhantes; existe uma regra geral para isso que vamos usar.

Passo 3

Apresento a regra de potências que usaremos (e explico o que cada símbolo significa):
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n},
onde:
  • a é a base (aqui um número real não-nulo),
  • m e n são expoentes (aqui podem ser inteiros, inclusive negativos).
    Essa fórmula diz que, ao dividir duas potências com a mesma base, subtrai-se os expoentes.

Passo 4

Breve justificativa intuitiva da regra (para você entender e lembrar na prova):
  • Se m e n são positivos, a^{m} = \underbrace{a\cdot a\cdots a}_{m\text{ vezes}} e a^{n} = \underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ vezes}}. Ao dividir, cancela-se n fatores a comuns, sobrando m-n fatores a, ou seja a^{m-n}.
  • Se um expoente é negativo, usa-se a definição a^{-k} = \dfrac{1}{a^{k}}. A regra \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} permanece válida porque a subtração de expoentes incorpora essa reciprocidade.

Passo 5

Agora aplico a regra ao caso concreto. Identifico os expoentes:
  • Na expressão 2^{7}: 2^{-2}, a base é a=2, m=7 e n=-2.
    Usando a regra:
\frac{2^{7}}{2^{-2}} = 2^{\,7-(-2)}.

Passo 6

Faço a subtração dos expoentes explicitamente:
7-(-2)=7+2=9.
Portanto a expressão vira
2^{9}.

Passo 7

Se quiser o valor numérico (só para conferir ou usar na prova): calcular 2^{9}.
Podemos calcular passo a passo:
2^{4}=16,\quad 2^{5}=32,\quad 2^{6}=64,\quad 2^{7}=128,\quad 2^{8}=256,\quad 2^{9}=512.
Logo 2^{9}=512.

Resposta

2^{9}=512

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