Transforme numa só potência, sendo a base um número real não-nulo:
2^{7}: 2^{-2}
Passo 1
O enunciado dá a expressão a transformar numa só potência com base real não-nula. Informação dada:
A expressão é 2^{7}: 2^{-2}.
O que se pede:
Escrever essa expressão como uma única potência cuja base é um número real não-nulo.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa potência e divisão de potências com a mesma base, sem resolver ainda.
Para uma base a (com a \neq 0) e expoentes inteiros m e n, a potência a^{m} significa multiplicar a por si mesmo m vezes quando m>0.
A divisão de potências de mesma base é uma operação que reduz os fatores semelhantes; existe uma regra geral para isso que vamos usar.
Passo 3
Apresento a regra de potências que usaremos (e explico o que cada símbolo significa):
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n},
onde:
a é a base (aqui um número real não-nulo),
m e n são expoentes (aqui podem ser inteiros, inclusive negativos).
Essa fórmula diz que, ao dividir duas potências com a mesma base, subtrai-se os expoentes.
Passo 4
Breve justificativa intuitiva da regra (para você entender e lembrar na prova):
Se m e n são positivos, a^{m} = \underbrace{a\cdot a\cdots a}_{m\text{ vezes}} e a^{n} = \underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ vezes}}. Ao dividir, cancela-se n fatores a comuns, sobrando m-n fatores a, ou seja a^{m-n}.
Se um expoente é negativo, usa-se a definição a^{-k} = \dfrac{1}{a^{k}}. A regra \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} permanece válida porque a subtração de expoentes incorpora essa reciprocidade.
Passo 5
Agora aplico a regra ao caso concreto. Identifico os expoentes:
Na expressão 2^{7}: 2^{-2}, a base é a=2, m=7 e n=-2.
Usando a regra:
\frac{2^{7}}{2^{-2}} = 2^{\,7-(-2)}.
Passo 6
Faço a subtração dos expoentes explicitamente:
7-(-2)=7+2=9.
Portanto a expressão vira
2^{9}.
Passo 7
Se quiser o valor numérico (só para conferir ou usar na prova): calcular 2^{9}.
Podemos calcular passo a passo: