Determine o valor da expressão dada:
\frac{1}{9}^{\frac{3}{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor numérico da expressão \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{3}{2}}.
Informações dadas:
  • A base é a fração \frac{1}{9}.
  • O expoente é \frac{3}{2}, um número racional (fração).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o que significa a^{\frac{m}{n}} para a>0, m e n inteiros positivos?
a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a é a base (um número positivo);
  • m é o numerador do expoente fracionário (o número de vezes que vamos elevar após a raiz);
  • n é o denominador (Indica a raiz n-ésima);
  • \sqrt[n]{a} é a raiz n-ésima de a.
Essa igualdade vem das regras de potências: \left(a^{1/n}\right)^n=a^{(1/n)\cdot n}=a, e então elevando essa raiz a m a^{m/n}.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: aqui a=\frac{1}{9}, m=3, n=2. Podemos primeiro tirar a raiz quadrada ( n=2) e depois elevar ao cubo ( m=3):
Calcule a raiz quadrada da base:
\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}.
Explicação do passo: a raiz de uma fração é a fração das raízes (desde que os radicandos sejam não-negativos), por isso \sqrt{\tfrac{1}{9}}=\tfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}.

Passo 4

Agora elevamos ao cubo o resultado da raiz:
\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1^{3}}{3^{3}}=\frac{1}{27}.
Detalhe: elevar uma fração a uma potência faz-se elevando numerador e denominador separadamente.

Passo 5

Verificação alternativa (mesma ideia, ordem trocada): primeiro elevar ao cubo e depois tirar a raiz quadrada.
\left(\frac{1}{9}\right)^{3}=\frac{1}{9^{3}}=\frac{1}{729}, \qquad \sqrt{\frac{1}{729}}=\frac{1}{27}.
Como esperado, dá o mesmo resultado.

Resposta

\frac{1}{27}

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