Transforme em soma de logaritmos:
Passo 1
O enunciado pede: transformar a expressão
em uma soma de logaritmos.
Informações dadas: a expressão é o logaritmo de base do produto
. Não há outros dados sobre
(assumimos
e
, condições normais para base de logaritmo).
Informações dadas: a expressão é o logaritmo de base
Passo 2
Entendendo o que é logaritmo (aula rápida e amigável).
A definição: quando escrevemos , isso significa que
.
Aqui:
A definição: quando escrevemos
Aqui:
-
é a base do logaritmo (um número positivo diferente de ), -
é o número cujo logaritmo estamos calculando, -
é o expoente tal que .
Exemplo simples:porque .
Passo 3
Propriedade do logaritmo para produto (a regra que precisamos usar).
A propriedade é:
A propriedade é:
Vamos provar essa propriedade passo a passo para você decorar e saber aplicar na prova.
Tomemos e
positivos e digamos:
Tomemos
Pela definição de logaritmo temos:
Multiplicando as duas igualdades:
Usando a regra dos expoentes
, obtemos:
Agora aplicamos a definição de logaritmo ao número
: o expoente que faz
elevado a ele dar
é
. Logo
Pronto — demonstramos a propriedade. Na prática: log de produto vira soma dos logs.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao problema.
Temos . Pelo que provamos:
Temos
Esse já é o resultado pedido (soma de logaritmos).
Passo 5
Opcional (bom para a prova): decompor ainda mais usando fatoração em primos e a propriedade da potência.
Lembrete da propriedade da potência: . Prova rápida: se
então
, assim
e
.
Agora fatoramos e
:
e
. Então
Lembrete da propriedade da potência:
Agora fatoramos
Aplicando logaritmo e as propriedades (produto → soma, potência → coeficiente):
Essa forma é útil se a prova pedir decomposição em logs de primos ou simplificação adicional.