Transforme em soma de logaritmos:
\log _{d}(6 \cdot 10)

Passo 1

O enunciado pede: transformar a expressão \log_{d}(6 \cdot 10) em uma soma de logaritmos.
Informações dadas: a expressão é o logaritmo de base \;d\; do produto 6 \cdot 10. Não há outros dados sobre d (assumimos d>0 e d\neq1, condições normais para base de logaritmo).

Passo 2

Entendendo o que é logaritmo (aula rápida e amigável).
A definição: quando escrevemos \log_{d}(x)=y, isso significa que d^{y}=x.
Aqui:
  • \;d\; é a base do logaritmo (um número positivo diferente de 1),
  • \;x\; é o número cujo logaritmo estamos calculando,
  • \;y\; é o expoente tal que d^{y}=x.
    Exemplo simples: \log_{10}(100)=2 porque 10^{2}=100.

Passo 3

Propriedade do logaritmo para produto (a regra que precisamos usar).
A propriedade é:
\log_{d}(MN)=\log_{d}M+\log_{d}N
Vamos provar essa propriedade passo a passo para você decorar e saber aplicar na prova.
Tomemos M e N positivos e digamos:
\log_{d}M = a \quad\text{e}\quad \log_{d}N = b.
Pela definição de logaritmo temos:
d^{a} = M \quad\text{e}\quad d^{b} = N.
Multiplicando as duas igualdades:
d^{a}\cdot d^{b} = M\cdot N.
Usando a regra dos expoentes d^{a}\cdot d^{b}=d^{a+b}, obtemos:
d^{a+b} = M\cdot N.
Agora aplicamos a definição de logaritmo ao número M\cdot N: o expoente que faz d elevado a ele dar M\cdot N é a+b. Logo
\log_{d}(M\cdot N)=a+b=\log_{d}M+\log_{d}N.
Pronto — demonstramos a propriedade. Na prática: log de produto vira soma dos logs.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao problema.
Temos \log_{d}(6\cdot 10). Pelo que provamos:
\log_{d}(6\cdot 10)=\log_{d}6+\log_{d}10.
Esse já é o resultado pedido (soma de logaritmos).

Passo 5

Opcional (bom para a prova): decompor ainda mais usando fatoração em primos e a propriedade da potência.
Lembrete da propriedade da potência: \log_{d}(x^{k})=k\log_{d}x. Prova rápida: se \log_{d}x = c então d^{c}=x, assim d^{kc}=x^{k} e \log_{d}(x^{k})=kc.
Agora fatoramos 6 e 10: 6=2\cdot3 e 10=2\cdot5. Então
6\cdot10=(2\cdot3)\cdot(2\cdot5)=2^{2}\cdot3\cdot5.
Aplicando logaritmo e as propriedades (produto → soma, potência → coeficiente):
\log_{d}(6\cdot10)=\log_{d}(2^{2}\cdot3\cdot5)=\log_{d}(2^{2})+\log_{d}3+\log_{d}5=2\log_{d}2+\log_{d}3+\log_{d}5.
Essa forma é útil se a prova pedir decomposição em logs de primos ou simplificação adicional.

Resposta

\log_{d}6+\log_{d}10=2\log_{d}2+\log_{d}3+\log_{d}5

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