Transforme em subtração de logaritmos:
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede para “transformar em subtração de logaritmos”.
Informações relevantes: a expressão é um logaritmo com base aplicado à fração
. Não foram fornecidos valores numéricos para
.
Pergunta: escrever na forma de diferença (subtração) de dois logaritmos.
Informações relevantes: a expressão é um logaritmo com base
Pergunta: escrever
Passo 2
Lembra da propriedade fundamental dos logaritmos que liga logaritmo de quociente com subtração? Vou te ensinar e derivar ela passo a passo para você decorar bem. A propriedade é:
Antes da demonstração, duas observações sobre domínio (importante na prova): a base
deve satisfazer
e
, e os argumentos
e
precisam ser positivos (
). Isso garante que os logaritmos estejam bem definidos.
Passo 3
Demonstração da propriedade (para você entender por que ela vale): suponha que
Pela definição de logaritmo, isso significa que
Agora calcule o quociente
:
Aplicando
aos dois lados (e sabendo que
), obtemos
Como
e
, concluímos
Pronto — propriedade justificada.
Passo 4
Agora aplique a propriedade ao caso concreto do enunciado: aqui
e
. Pelo que acabamos de provar,
Passo 5
Para reforçar a intuição, faça uma pequena verificação aritmética:
. Então outra forma equivalente é
E você pode checar que
usando a mesma propriedade inversamente:
Isso mostra que as duas formas são consistentes; a que o enunciado pediu é a forma em subtração de logaritmos.