Transforme em subtração de logaritmos:
\log _{a}\left(\frac{12}{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a expressão \log_{a}\left(\frac{12}{3}\right) e pede para “transformar em subtração de logaritmos”.
Informações relevantes: a expressão é um logaritmo com base \;a\; aplicado à fração \frac{12}{3}. Não foram fornecidos valores numéricos para \;a\;.
Pergunta: escrever \log_{a}\left(\frac{12}{3}\right) na forma de diferença (subtração) de dois logaritmos.

Passo 2

Lembra da propriedade fundamental dos logaritmos que liga logaritmo de quociente com subtração? Vou te ensinar e derivar ela passo a passo para você decorar bem. A propriedade é:
\log_{a}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{a}x-\log_{a}y.
Antes da demonstração, duas observações sobre domínio (importante na prova): a base \;a\; deve satisfazer \;a>0 e \;a\neq1\;, e os argumentos x e y precisam ser positivos ( x>0,\;y>0). Isso garante que os logaritmos estejam bem definidos.

Passo 3

Demonstração da propriedade (para você entender por que ela vale): suponha que
p=\log_{a}x\quad\text{e}\quad q=\log_{a}y.
Pela definição de logaritmo, isso significa que
x=a^{p}\quad\text{e}\quad y=a^{q}.
Agora calcule o quociente x/y:
\frac{x}{y}=\frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}.
Aplicando \log_{a} aos dois lados (e sabendo que \log_{a}(a^{\text{algo}})=\text{algo}), obtemos
\log_{a}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{a}\!\left(a^{p-q}\right)=p-q.
Como p=\log_{a}x e q=\log_{a}y, concluímos
\log_{a}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{a}x-\log_{a}y.
Pronto — propriedade justificada.

Passo 4

Agora aplique a propriedade ao caso concreto do enunciado: aqui x=12 e y=3. Pelo que acabamos de provar,
\log_{a}\!\left(\frac{12}{3}\right)=\log_{a}12-\log_{a}3.

Passo 5

Para reforçar a intuição, faça uma pequena verificação aritmética: \frac{12}{3}=4. Então outra forma equivalente é
\log_{a}\!\left(\frac{12}{3}\right)=\log_{a}4.
E você pode checar que \log_{a}12-\log_{a}3=\log_{a}4 usando a mesma propriedade inversamente:
\log_{a}12-\log_{a}3=\log_{a}\!\left(\frac{12}{3}\right)=\log_{a}4.
Isso mostra que as duas formas são consistentes; a que o enunciado pediu é a forma em subtração de logaritmos.

Resposta

\log_{a}12-\log_{a}3

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