Transforme em soma de logaritmos:
\log _{k}(8 \cdot 15)

Passo 1

O enunciado pede para transformar a expressão \log_{k}(8\cdot 15) em uma soma de logaritmos.
Informações dadas: a expressão é o logaritmo na base \;k\; do produto \;8\cdot 15\;. Não foi informado valor numérico para \;k\;, então devemos manter a base \;k\; simbólica.

Passo 2

Propriedade fundamental que vamos usar: para qualquer base válida e números positivos, vale
\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y.
Explicação didática (por que isso é verdade): seja \log_{a}x=p e \log_{a}y=q. Isso significa, por definição de logaritmo, que x=a^{p} e y=a^{q}. Multiplicando,
xy=a^{p}a^{q}=a^{p+q}.
Aplicando logaritmo na base a em ambos os lados, obtemos
\log_{a}(xy)=\log_{a}\big(a^{p+q}\big)=p+q=\log_{a}x+\log_{a}y.
Aqui expliquei o que cada letra significa: a é a base do logaritmo, x e y são os números positivos que estamos multiplicando, p e q são os respectivos logaritmos.

Passo 3

Aplicando a propriedade diretamente em \log_{k}(8\cdot 15), temos
\log_{k}(8\cdot 15)=\log_{k}8+\log_{k}15.

Passo 4

Podemos ir além e decompor 8 e 15 em fatores primos e usar também a propriedade do logaritmo de potência:
\log_{a}\big(x^{r}\big)=r\log_{a}x,
que decorre da mesma ideia anterior (se x=a^{s} então x^{r}=a^{rs} e \log_{a}(a^{rs})=rs). Aqui 8=2^{3} e 15=3\cdot 5. Então
\log_{k}8=\log_{k}\big(2^{3}\big)=3\log_{k}2
e
\log_{k}15=\log_{k}(3\cdot 5)=\log_{k}3+\log_{k}5.
Somando tudo, obtemos a expansão completa:
\log_{k}(8\cdot 15)=3\log_{k}2+\log_{k}3+\log_{k}5.

Passo 5

Observação importante para a prova: os logaritmos só estão definidos quando a base \;k\; satisfaz \;k>0 e \;k\neq 1\; e os argumentos (aqui 8 e 15) são positivos — o que é verdade neste caso. Vai bem — esse tipo de transformação é muito comum em exercícios e facilita bastante simplificar expressões ou resolver equações com logaritmos.

Resposta

\log_{k}8+\log_{k}15
3\log_{k}2+\log_{k}3+\log_{k}5

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