Transforme em soma de logaritmos:
Passo 1
O enunciado pede para transformar a expressão
em uma soma de logaritmos.
Informações dadas: a expressão é o logaritmo na base do produto
. Não foi informado valor numérico para
, então devemos manter a base
simbólica.
Informações dadas: a expressão é o logaritmo na base
Passo 2
Propriedade fundamental que vamos usar: para qualquer base válida e números positivos, vale
Explicação didática (por que isso é verdade): seja
e
. Isso significa, por definição de logaritmo, que
e
. Multiplicando,
Aplicando logaritmo na base
em ambos os lados, obtemos
Aqui expliquei o que cada letra significa:
é a base do logaritmo,
e
são os números positivos que estamos multiplicando,
e
são os respectivos logaritmos.
Passo 3
Aplicando a propriedade diretamente em
, temos
Passo 4
Podemos ir além e decompor
e
em fatores primos e usar também a propriedade do logaritmo de potência:
que decorre da mesma ideia anterior (se
então
e
). Aqui
e
. Então
e
Somando tudo, obtemos a expansão completa:
Passo 5
Observação importante para a prova: os logaritmos só estão definidos quando a base
satisfaz
e
e os argumentos (aqui
e
) são positivos — o que é verdade neste caso. Vai bem — esse tipo de transformação é muito comum em exercícios e facilita bastante simplificar expressões ou resolver equações com logaritmos.