Transforme em soma de logaritmos:
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede que ela seja transformada em uma soma de logaritmos.
Informações relevantes que temos diretamente do enunciado: ,
(logo os argumentos são válidos para logaritmo) e a base
deve satisfazer
e
(condições padrão para a definição de
).
A pergunta concreta é: escrever como soma de logaritmos de fatores.
Informações relevantes que temos diretamente do enunciado:
A pergunta concreta é: escrever
Passo 2
Vamos recordar e provar a propriedade que transforma um logaritmo de produto em soma de logaritmos. A propriedade é:
para
,
e
.
Prova rápida e intuitiva (para você aplicar na prova): seja e
. Isso significa, pela definição de logaritmo, que
Prova rápida e intuitiva (para você aplicar na prova): seja
Multiplicando as duas igualdades obtemos
Pelo mesmo raciocínio inverso da definição de logaritmo, isso implica
Esse é o motivo algebraico por trás da fórmula: exponenciação transforma soma em produto, e o logaritmo reaplica isso ao contrário.
Passo 3
Aplicando diretamente a propriedade ao nosso caso, com
e
, obtemos:
Esse já é o formato pedido: a expressão foi escrita como soma de logaritmos dos fatores.
Passo 4
Podemos, se quisermos simplificar mais, decompor
em fatores primos:
. Usando novamente a propriedade do produto:
Substituindo isso na expressão do Passo 3:
Essa é uma forma mais “compacta” e às vezes mais útil em exercícios.