Transforme em soma de logaritmos:
\log _{c}(4 \cdot 12)

Passo 1

O enunciado dá a expressão \log_{c}(4 \cdot 12) e pede que ela seja transformada em uma soma de logaritmos.
Informações relevantes que temos diretamente do enunciado: \;4>0, \;12>0 (logo os argumentos são válidos para logaritmo) e a base c deve satisfazer \;c>0 e \;c\neq1 (condições padrão para a definição de \log_c).
A pergunta concreta é: escrever \log_{c}(4\cdot12) como soma de logaritmos de fatores.

Passo 2

Vamos recordar e provar a propriedade que transforma um logaritmo de produto em soma de logaritmos. A propriedade é:
\log_{c}(ab)=\log_{c}(a)+\log_{c}(b)
para a>0, b>0 e c>0,\;c\neq1.
Prova rápida e intuitiva (para você aplicar na prova): seja \log_{c}(a)=x e \log_{c}(b)=y. Isso significa, pela definição de logaritmo, que
c^{x}=a \quad\text{e}\quad c^{y}=b.
Multiplicando as duas igualdades obtemos
c^{x}\cdot c^{y}=ab \quad\Rightarrow\quad c^{x+y}=ab.
Pelo mesmo raciocínio inverso da definição de logaritmo, isso implica
\log_{c}(ab)=x+y=\log_{c}(a)+\log_{c}(b).
Esse é o motivo algebraico por trás da fórmula: exponenciação transforma soma em produto, e o logaritmo reaplica isso ao contrário.

Passo 3

Aplicando diretamente a propriedade ao nosso caso, com a=4 e b=12, obtemos:
\log_{c}(4\cdot12)=\log_{c}(4)+\log_{c}(12).
Esse já é o formato pedido: a expressão foi escrita como soma de logaritmos dos fatores.

Passo 4

Podemos, se quisermos simplificar mais, decompor 12 em fatores primos: 12=3\cdot4. Usando novamente a propriedade do produto:
\log_{c}(12)=\log_{c}(3\cdot4)=\log_{c}(3)+\log_{c}(4).
Substituindo isso na expressão do Passo 3:
\log_{c}(4)+\log_{c}(12)=\log_{c}(4)+\bigl(\log_{c}(3)+\log_{c}(4)\bigr)=2\log_{c}(4)+\log_{c}(3).
Essa é uma forma mais “compacta” e às vezes mais útil em exercícios.

Resposta

\log_{c}(4)+\log_{c}(12)
2\log_{c}(4)+\log_{c}(3)

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