Transforme em subtração de logaritmos:
Passo 1
O que o enunciado pede: transformar a expressão
em uma subtração de logaritmos.
Informações dadas: a expressão original é . Não há informação sobre o valor de
(assumimos
e
, como em todo logaritmo válido).
Informações dadas: a expressão original é
Passo 2
Relembrando o que significa um logaritmo (de forma direta e prática): quando escrevemos
, isso quer dizer que
Aqui
é a base do logaritmo,
é o número do qual estamos tomando o logaritmo, e
é o resultado (o expoente ao qual elevamos
para obter
). Isso é a definição de logaritmo e é a chave para provar as propriedades que vamos usar.
Passo 3
Prova da propriedade do quociente (essa é a fórmula que transforma um logaritmo de fração em subtração): seja
e
. Defina
Pela definição de logaritmo temos
Dividindo as duas igualdades:
Usando a regra de potências
, obtemos
Agora, aplicando
em ambos os lados (ou reconhecendo a definição inversa), concluímos
Voltando às definições
e
, isto é
Essa é a propriedade do quociente dos logaritmos: o logaritmo de uma divisão vira a diferença dos logaritmos.
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade ao caso concreto do enunciado, tomando
e
. Usando a fórmula do passo anterior:
Isso já é exatamente a transformação pedida: a expressão foi escrita como subtração de dois logaritmos.
Passo 5
Uma observação útil (pequena simplificação): como
, temos também
Portanto as três expressões são equivalentes:
Passo 6
Exemplo numérico para ver que tudo bate: se escolhemos a base
, então
e também
Isso serve só para checar na prática que a propriedade funciona — mas na prova não precisa de valor numérico, basta usar a propriedade que demonstramos.
Passo 7
Dica rápida para a prova: quando ver
já mentalize que dá para transformar direto em
. Se puder simplificar a fração antes (como aqui,
), faça isso para escrever também
— às vezes isso facilita simplificações posteriores. Força aí, você consegue!