Transforme em subtração de logaritmos:
\log _{b}\left(\frac{20}{5}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: transformar a expressão \log_{b}\!\left(\frac{20}{5}\right) em uma subtração de logaritmos.
Informações dadas: a expressão original é \log_{b}\!\left(\frac{20}{5}\right). Não há informação sobre o valor de b (assumimos b>0 e b\neq1, como em todo logaritmo válido).

Passo 2

Relembrando o que significa um logaritmo (de forma direta e prática): quando escrevemos \log_{b}(x)=y, isso quer dizer que
b^{y}=x.
Aqui b é a base do logaritmo, x é o número do qual estamos tomando o logaritmo, e y é o resultado (o expoente ao qual elevamos b para obter x). Isso é a definição de logaritmo e é a chave para provar as propriedades que vamos usar.

Passo 3

Prova da propriedade do quociente (essa é a fórmula que transforma um logaritmo de fração em subtração): seja M>0 e N>0. Defina
u=\log_{b}(M)\quad\text{e}\quad v=\log_{b}(N).
Pela definição de logaritmo temos
b^{u}=M\quad\text{e}\quad b^{v}=N.
Dividindo as duas igualdades:
\frac{b^{u}}{b^{v}}=\frac{M}{N}.
Usando a regra de potências b^{u}/b^{v}=b^{u-v}, obtemos
b^{u-v}=\frac{M}{N}.
Agora, aplicando \log_{b} em ambos os lados (ou reconhecendo a definição inversa), concluímos
u-v=\log_{b}\!\left(\frac{M}{N}\right).
Voltando às definições u e v, isto é
\log_{b}\!\left(\frac{M}{N}\right)=\log_{b}(M)-\log_{b}(N).
Essa é a propriedade do quociente dos logaritmos: o logaritmo de uma divisão vira a diferença dos logaritmos.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade ao caso concreto do enunciado, tomando M=20 e N=5. Usando a fórmula do passo anterior:
\log_{b}\!\left(\frac{20}{5}\right)=\log_{b}(20)-\log_{b}(5).
Isso já é exatamente a transformação pedida: a expressão foi escrita como subtração de dois logaritmos.

Passo 5

Uma observação útil (pequena simplificação): como 20/5=4, temos também
\log_{b}\!\left(\frac{20}{5}\right)=\log_{b}(4).
Portanto as três expressões são equivalentes:
\log_{b}\!\left(\frac{20}{5}\right)=\log_{b}(4)=\log_{b}(20)-\log_{b}(5).

Passo 6

Exemplo numérico para ver que tudo bate: se escolhemos a base b=10, então
\log_{10}\!\left(\frac{20}{5}\right)=\log_{10}(4)
e também
\log_{10}(20)-\log_{10}(5)=\log_{10}(4).
Isso serve só para checar na prática que a propriedade funciona — mas na prova não precisa de valor numérico, basta usar a propriedade que demonstramos.

Passo 7

Dica rápida para a prova: quando ver \log_{b}\!\left(\frac{A}{B}\right) já mentalize que dá para transformar direto em \log_{b}(A)-\log_{b}(B). Se puder simplificar a fração antes (como aqui, 20/5=4), faça isso para escrever também \log_{b}(4) — às vezes isso facilita simplificações posteriores. Força aí, você consegue!

Resposta

\log_{b}(20)-\log_{b}(5)

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