Transforme em subtração de logaritmos:
Passo 1
O enunciado pede para transformar a expressão
em uma subtração de logaritmos.
Informações dadas: a expressão é . Não foi especificado o valor de
, então devemos manter
genérico, com a condição usual para base de logaritmo:
e
.
Pergunta clara: escrever na forma de diferença entre dois logaritmos.
Informações dadas: a expressão é
Pergunta clara: escrever
Passo 2
Apresento e explico a propriedade que vamos usar (a tal “regra do quociente” dos logaritmos). A propriedade diz:
onde
,
e
,
.
O que cada símbolo significa: e
são os números que aparecem no numerador e denominador do quociente;
é a base do logaritmo. A propriedade afirma que o logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos separados.
O que cada símbolo significa:
Passo 3
Mostro por que a propriedade é verdadeira (passo a passo, para você decorar no exame). Seja
Pelo significado de logaritmo temos
Então
Aplicando
em ambos os lados:
Pronto: derivamos a fórmula de forma elementar usando as definições.
Passo 4
Agora aplico a propriedade à expressão do enunciado. Usando
e
na propriedade, obtemos
Observação adicional útil na prova:
, então
. E como
podemos escrever
. Mas a forma pedida como subtração de logaritmos é
.