Transforme em subtração de logaritmos:
\log _{k}\left(\frac{35}{7}\right)

Passo 1

O enunciado pede para transformar a expressão \log_{k}\left(\frac{35}{7}\right) em uma subtração de logaritmos. Informação dada: a expressão original é \log_{k}\left(\frac{35}{7}\right). Não há figura nem tabela. O objetivo imediato é reescrever essa expressão usando propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a propriedade dos logaritmos que transforma um logaritmo de quociente em diferença: para quaisquer a>0 e b>0 e base k>0, k\neq1, vale
\log_{k}\!\left(\frac{a}{b}\right)=\log_{k}(a)-\log_{k}(b).
Por que isso é verdade? Uma forma intuitiva: \frac{a}{b}=a\cdot b^{-1}. Como \log_{k}(b^{-1})=-\log_{k}(b), fica \log_{k}(a\cdot b^{-1})=\log_{k}(a)+\log_{k}(b^{-1})=\log_{k}(a)-\log_{k}(b). Outra forma é usar potências: se \log_{k}(a)=x e \log_{k}(b)=y, então a=k^{x} e b=k^{y}, logo \frac{a}{b}=k^{x-y} e \log_{k}\!\left(\frac{a}{b}\right)=x-y=\log_{k}(a)-\log_{k}(b).

Passo 3

Aplicando essa propriedade diretamente à nossa expressão com a=35 e b=7, obtemos
\log_{k}\!\left(\frac{35}{7}\right)=\log_{k}(35)-\log_{k}(7).
Isso já é a transformação em subtração de logaritmos pedida.

Passo 4

Podemos ir além: note que 35 é fatorável como 35=5\cdot7. Estou usando a fatoração óbvia de 35 em seus fatores primos.

Passo 5

Usando a propriedade do logaritmo do produto, que diz
\log_{k}(ab)=\log_{k}(a)+\log_{k}(b),
podemos escrever
\log_{k}(35)=\log_{k}(5\cdot7)=\log_{k}(5)+\log_{k}(7).

Passo 6

Substituindo essa expansão em \log_{k}(35)-\log_{k}(7) temos
\log_{k}(35)-\log_{k}(7)=\big(\log_{k}(5)+\log_{k}(7)\big)-\log_{k}(7).
Agora simplificamos cancelando \log_{k}(7) com -\log_{k}(7), ficando
\log_{k}(5).

Passo 7

Portanto a expressão original pode ser escrita como diferença de logaritmos e, ao simplificar, reduz-se a um logaritmo mais simples.

Resposta

\log_{k}(35)-\log_{k}(7)=\log_{k}(5)

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