Transforme em subtração de logaritmos:
\log _{d}\left(\frac{30}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para transformar em subtração de logaritmos a expressão \log_{d}\left(\frac{30}{2}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \log_{d}\left(\frac{30}{2}\right) é a expressão inicial e d é a base do logaritmo (assumimos que d>0 e d\neq1, condição necessária para que o logaritmo esteja bem definido).

Passo 2

Vamos lembrar (e entender) duas propriedades fundamentais dos logaritmos que usaremos. Vou explicar devagar, como num bom papo de estudo.
Propriedade 1 — Regra do produto: para números positivos M e N e base d,
\log_{d}(MN)=\log_{d}M+\log_{d}N.
O porquê: se \log_{d}M=a e \log_{d}N=b, então d^{a}=M e d^{b}=N. Multiplicando, d^{a}d^{b}=MN, isto é d^{a+b}=MN. Logo \log_{d}(MN)=a+b=\log_{d}M+\log_{d}N.
Propriedade 2 — Regra da potência: para M>0 e escalar k,
\log_{d}(M^{k})=k\log_{d}M.
O porquê: se \log_{d}M=a, então d^{a}=M e d^{ka}=(d^{a})^{k}=M^{k}. Assim \log_{d}(M^{k})=ka=k\log_{d}M.
Essas duas propriedades juntas nos permitem tratar frações também.

Passo 3

Derivando a regra da divisão (essa é a que queremos usar): para M>0 e N>0,
\frac{M}{N}=M\cdot N^{-1}.
Aplicando a propriedade do produto e depois a da potência, obtemos
\log_{d}\!\left(\frac{M}{N}\right)=\log_{d}(M\cdot N^{-1})=\log_{d}M+\log_{d}\left(N^{-1}\right).
Pelo poder da propriedade da potência,
\log_{d}\left(N^{-1}\right)=-1\cdot\log_{d}N=-\log_{d}N.
Portanto, juntando tudo,
\log_{d}\!\left(\frac{M}{N}\right)=\log_{d}M-\log_{d}N.
Essa é a regra direta que transforma um logaritmo de uma fração em subtração de logaritmos.

Passo 4

Agora aplicamos a regra acima ao caso concreto M=30 e N=2. Usando
\log_{d}\!\left(\frac{30}{2}\right)=\log_{d}30-\log_{d}2,
obtemos exatamente a transformação pedida.

Passo 5

Verificação rápida e intuitiva: \frac{30}{2}=15, então \log_{d}\!\left(\frac{30}{2}\right)=\log_{d}15. Também é verdade que \log_{d}30-\log_{d}2=\log_{d}\!\left(\frac{30}{2}\right), então ambas as formas coincidem. Se quiser fazer um teste numérico simples (por exemplo com base d=10), \log_{10}30-\log_{10}2 dá o mesmo valor que \log_{10}15, comprovando que a transformação está correta.

Resposta

\log_{d}30-\log_{d}2

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