Transforme em subtração de logaritmos:
Passo 1
O enunciado pede para transformar em subtração de logaritmos a expressão
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: é a expressão inicial e
é a base do logaritmo (assumimos que
e
, condição necessária para que o logaritmo esteja bem definido).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Vamos lembrar (e entender) duas propriedades fundamentais dos logaritmos que usaremos. Vou explicar devagar, como num bom papo de estudo.
Propriedade 1 — Regra do produto: para números positivos
e
e base
,
O porquê: se
e
, então
e
. Multiplicando,
, isto é
. Logo
.
Propriedade 2 — Regra da potência: para
e escalar
,
O porquê: se
, então
e
. Assim
.
Essas duas propriedades juntas nos permitem tratar frações também.
Passo 3
Derivando a regra da divisão (essa é a que queremos usar): para
e
,
Aplicando a propriedade do produto e depois a da potência, obtemos
Pelo poder da propriedade da potência,
Portanto, juntando tudo,
Essa é a regra direta que transforma um logaritmo de uma fração em subtração de logaritmos.
Passo 4
Agora aplicamos a regra acima ao caso concreto
e
. Usando
obtemos exatamente a transformação pedida.
Passo 5
Verificação rápida e intuitiva:
, então
. Também é verdade que
, então ambas as formas coincidem. Se quiser fazer um teste numérico simples (por exemplo com base
),
dá o mesmo valor que
, comprovando que a transformação está correta.