Translação da origem II. (a) Considere a equação vetorial , onde são escalares e é um inteiro arbitrário. Verifique que a condição para que essa equação seja invariante pela translação arbitrária da origem do sistema de coordenadas é .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o problema: temos a equação vetorial
onde os são escalares e os são vetores de posição. A ideia é descobrir em que condição essa igualdade continua valendo se a gente mudar a origem do sistema (isto é, aplicar uma translação).
Conteúdo da matéria: vetores, transformações de coordenadas (translação) e linearidade de soma de vetores.
O que vamos precisar:
Saber que, sob uma translação dada por um vetor vira .
Usar a propriedade de linearidade (puxar soma e escalar pra fora).
Entender que “invariante” significa que a nova soma também deve dar zero.
Passo 2
Aplicando a translação: seja um vetor qualquer que representa o deslocamento da origem. Então cada vetor de posição se transforma em
Passo 3
Substituímos na equação original:
Pela linearidade, isso vira
Passo 4
Para que a equação seja invariante, queremos que
sumj=1^N aj,Aj' = 0
independentemente do vetor T,sumj=1^N aj = 0 . Logo,
sumj=1^N aj = 0
para todo . A única forma disso acontecer é se
Resposta
A condição necessária e suficiente para a invariância pela translação da origem é