Translação da origem II. (a) Considere a equação vetorial sumj=1^N aj Aj=0, onde aj são escalares e N é um inteiro arbitrário. Verifique que a condição para que essa equação seja invariante pela translação arbitrária da origem do sistema de coordenadas é sumj=1^N aj=0.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o problema: temos a equação vetorial
sumj=1^N aj,Aj = 0
onde os são escalares e os são vetores de posição. A ideia é descobrir em que condição essa igualdade continua valendo se a gente mudar a origem do sistema (isto é, aplicar uma translação).
Conteúdo da matéria: vetores, transformações de coordenadas (translação) e linearidade de soma de vetores.
O que vamos precisar:
  1. Saber que, sob uma translação dada por um vetor vira .
  2. Usar a propriedade de linearidade (puxar soma e escalar pra fora).
  3. Entender que “invariante” significa que a nova soma também deve dar zero.

Passo 2

Aplicando a translação: seja Aj' ;=; Aj + T um vetor qualquer que representa o deslocamento da origem. Então cada vetor de posição se transforma em

Passo 3

Substituímos na equação original:
sumj=1^N aj,Aj' ;=; sumj=1^N aj,(Aj + T)
Pela linearidade, isso vira
sumj=1^N aj,Aj ;+; sumj=1^N aj,T ;=; underbracesumj=1^N aj,Aj=,0 ;+; T,sumj=1^N aj ;=; T,sumj=1^N aj

Passo 4

Para que a equação seja invariante, queremos que
sumj=1^N aj,Aj' = 0
independentemente do vetor T,sumj=1^N aj = 0 . Logo,
sumj=1^N aj = 0
para todo . A única forma disso acontecer é se

Resposta

A condição necessária e suficiente para a invariância pela translação da origem é
boxedsumj=1^N aj = 0

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