O transporte de uma substância através de uma parede capilar na fisiologia pulmonar tem sido modela pela EDO: dh/dt=
, onde
é a concentração de hormônio na corrente sanguínea, t é o tempo, R é a taxa máxima de transporte, V é o volume capilar e
é a constante positiva que mede a afinidade entre os hormônios e as enzimas que auxiliam o processo. Resolva a EDO.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
, que descreve o transporte de uma substância num capilar. O conteúdo principal é resolução de equação diferencial separável e, para obter a forma explícita, vamos usar a função de Lambert W.
Passo 2
Identificamos que a EDO é separável. Podemos agrupar termos em
de um lado e em
do outro. Escrevemos:
[\frac{k+h}{h},dh = \frac{R}{V},dt]
[\frac{k+h}{h},dh = \frac{R}{V},dt]
Passo 3
Para facilitar a integração, decompomos a fração:
[\frac{k+h}{h} = \frac{k}{h} + 1]
Assim a equação fica:
[(\frac{k}{h}+1),dh = \frac{R}{V},dt]
[\frac{k+h}{h} = \frac{k}{h} + 1]
Assim a equação fica:
[(\frac{k}{h}+1),dh = \frac{R}{V},dt]
Passo 4
Integramos ambos os lados. Do lado de
:
[\int(\frac{k}{h}+1),dh = k\ln|h|+h]
Do lado de :
[\int\frac{R}{V},dt = \frac{R}{V}t + C]
Logo a solução implícita é:
[k\ln h + h = \frac{R}{V}t + C]
[\int(\frac{k}{h}+1),dh = k\ln|h|+h]
Do lado de
[\int\frac{R}{V},dt = \frac{R}{V}t + C]
Logo a solução implícita é:
[k\ln h + h = \frac{R}{V}t + C]
Passo 5
Para isolar
, dividimos por
e exponenciamos. Chegamos a:
[h,e^{h/k} = e{C/k},e{\frac{R}{V k}t}]
Definindo , reescrevemos:
[\frac{h}{k},e^{h/k} = \frac{A}{k},e^{\frac{R}{V k}t}]
[h,e^{h/k} = e{C/k},e{\frac{R}{V k}t}]
Definindo
[\frac{h}{k},e^{h/k} = \frac{A}{k},e^{\frac{R}{V k}t}]
Passo 6
Pela definição da função de Lambert W, se
então
. Assim:
[\frac{h}{k} = W!\Bigl(\frac{A}{k} e^{\frac{R}{V k}t}\Bigr)]
e finalmente:
[h(t) = k,W!\Bigl(\frac{A}{k} e^{\frac{R}{V k}t}\Bigr)]
[\frac{h}{k} = W!\Bigl(\frac{A}{k} e^{\frac{R}{V k}t}\Bigr)]
e finalmente:
[h(t) = k,W!\Bigl(\frac{A}{k} e^{\frac{R}{V k}t}\Bigr)]
Passo 7
Se tiver condição inicial
, então de
na solução implícita vem
. A solução particular é:
[h(t)=k,W!\Bigl(\frac{h_0}{k} e^{\frac{h_0}{k}+\frac{R}{V k}t}\Bigr)].
[h(t)=k,W!\Bigl(\frac{h_0}{k} e^{\frac{h_0}{k}+\frac{R}{V k}t}\Bigr)].
Resposta
A solução geral implícita é
[ k \ln h + h = \frac{R}{V}t + C ]
A forma explícita usando a função de Lambert W é
[ h(t) = k,W!\Bigl(\tfrac{A}{k}e^{\frac{R}{V k}t}\Bigr) ]
com . Para condição inicial
,
[ h(t)=k,W!\Bigl(\tfrac{h_0}{k}e^{\frac{h_0}{k}+\frac{R}{V k}t}\Bigr). ]
[ k \ln h + h = \frac{R}{V}t + C ]
A forma explícita usando a função de Lambert W é
[ h(t) = k,W!\Bigl(\tfrac{A}{k}e^{\frac{R}{V k}t}\Bigr) ]
com
[ h(t)=k,W!\Bigl(\tfrac{h_0}{k}e^{\frac{h_0}{k}+\frac{R}{V k}t}\Bigr). ]