O transporte de uma substância através de uma parede capilar na fisiologia pulmonar tem sido modela pela EDO: dh/dt= R / V(h /(k+h)), onde h é a concentração de hormônio na corrente sanguínea, t é o tempo, R é a taxa máxima de transporte, V é o volume capilar e k é a constante positiva que mede a afinidade entre os hormônios e as enzimas que auxiliam o processo. Resolva a EDO.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO dhdt=RVhk+h, que descreve o transporte de uma substância num capilar. O conteúdo principal é resolução de equação diferencial separável e, para obter a forma explícita, vamos usar a função de Lambert W.

Passo 2

Identificamos que a EDO é separável. Podemos agrupar termos em h de um lado e em t do outro. Escrevemos:
[\frac{k+h}{h},dh = \frac{R}{V},dt]

Passo 3

Para facilitar a integração, decompomos a fração:
[\frac{k+h}{h} = \frac{k}{h} + 1]
Assim a equação fica:
[(\frac{k}{h}+1),dh = \frac{R}{V},dt]

Passo 4

Integramos ambos os lados. Do lado de h:
[\int(\frac{k}{h}+1),dh = k\ln|h|+h]
Do lado de t:
[\int\frac{R}{V},dt = \frac{R}{V}t + C]
Logo a solução implícita é:
[k\ln h + h = \frac{R}{V}t + C]

Passo 5

Para isolar h, dividimos por k e exponenciamos. Chegamos a:
[h,e^{h/k} = e{C/k},e{\frac{R}{V k}t}]
Definindo A=e^C/k, reescrevemos:
[\frac{h}{k},e^{h/k} = \frac{A}{k},e^{\frac{R}{V k}t}]

Passo 6

Pela definição da função de Lambert W, se x e^x=y então x=W(y). Assim:
[\frac{h}{k} = W!\Bigl(\frac{A}{k} e^{\frac{R}{V k}t}\Bigr)]
e finalmente:
[h(t) = k,W!\Bigl(\frac{A}{k} e^{\frac{R}{V k}t}\Bigr)]

Passo 7

Se tiver condição inicial h(0)=h0, então de t=0 na solução implícita vem A=h0ke^h0/k. A solução particular é:
[h(t)=k,W!\Bigl(\frac{h_0}{k} e^{\frac{h_0}{k}+\frac{R}{V k}t}\Bigr)].

Resposta

A solução geral implícita é
[ k \ln h + h = \frac{R}{V}t + C ]
A forma explícita usando a função de Lambert W é
[ h(t) = k,W!\Bigl(\tfrac{A}{k}e^{\frac{R}{V k}t}\Bigr) ]
com A=e^C/k. Para condição inicial h(0)=h0,
[ h(t)=k,W!\Bigl(\tfrac{h_0}{k}e^{\frac{h_0}{k}+\frac{R}{V k}t}\Bigr). ]

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