Em um trapézio A B D C, sabe-se que M e N são pontos médios dos segmentos paralelos A B e C D, respectivamente. Escrever o vetor M N como combinação linear dos vetores A C e B D.

Passo 1

O enunciado apresenta um trapézio ABDC com ABparal<=l CD e diz que M e N são pontos médios de AB e CD, respectivamente. O objetivo é usar geometria vetorial e a propriedade do ponto médio para escrever MN como combinação linear de AC e BD.

Passo 2

Escolhendo um sistema de referência arbitrário, denotamos por A,B,C,D os vetores de posição dos vértices A,B,C,D. Como M e N são pontos médios vale
M=A+B2, N=D+C2

Passo 3

O vetor de M até N é
MN =N-M =D+C2 -A+B2 =C+D-A-B2

Passo 4

Reagrupando,
C-A=AC, D-B=BD,
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MN =12l((C-A)+(D-B)r) =12l(AC+BDr)

Resposta

MN = tfrac12,AC ;+;tfrac12,BD

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