Os vetores u=(1,2,3), v=(4,5,6) e w=(7,8,9) são linearmente independentes?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=(1,2,3), v=(4,5,6) e w=(7,8,9).
O conteúdo é independência linear: um conjunto é linearmente independente se a única combinação
lambda1u+lambda2v+lambda3w=0
é a trivial lambda1=lambda2=lambda3=0.

Passo 2

Vamos buscar uma relação linear não trivial entre esses vetores, isto é, coeficientes nem todos nulos que zerem a combinação.

Passo 3

Calculemos as diferenças
v-u=(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3)
e
w-v=(7-4,8-5,9-6)=(3,3,3).
Como v-u=w-v, temos
v-u=w-v Longrightarrow u-2v+w=0

Passo 4

A combinação u-2v+w=0 não é trivial (os coeficientes são 1,-2,1, nem todos nulos), portanto os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Não. Os vetores são linearmente dependentes.

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