Num triângulo A B C qualquer, sejam M, N e P os pontos médios dos lados A B, B C e C A, respectivamente. Mostre que
A N+B P=M C

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC e diz que M, N e P são os pontos médios de AB, BC e CA, respectivamente. Preciso mostrar que
AN + BP = MC
O conteúdo que vamos usar é Álgebra Vetorial: atribuir vetores-posicionais aos vértices e expressar vetores como diferença de posições.

Passo 2

Sejam
a, b e c
os vetores-posicionais dos pontos A, B e C.
Como M, N e P são pontos médios, temos
m = a + b2, n = b + c2, p = c + a2

Passo 3

Calculemos AN. Por definição,
AN = n - a = b + c2 - a = b + c - 2a2

Passo 4

Agora BP:
BP = p - b = c + a2 - b = c + a - 2b2

Passo 5

Somando AN + BP:
AN + BP = b + c - 2a2 + c + a - 2b2 = 2c - a - b2

Passo 6

Por fim, calculemos MC:
MC = c - m = c - a + b2 = 2c - a - b2
Como ambas as expressões dão 2c - a - b2, concluímos que
AN + BP = MC

Resposta

AN + BP = MC

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