Dado dois segmentos quaisquer A C e B D, que se interceptam no ponto médio comum M, mostre que os pontos A, B, C e D formam o paralelogramo A B C D.

Passo 1

O enunciado dá dois segmentos AC e BD que se interceptam em M, de modo que M é ponto médio de AC e também de BD. Queremos mostrar que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo. Vamos usar noções de vetores e a propriedade de que, se as diagonais de um quadrilátero se bissetam, então ele é paralelogramo.

Passo 2

Escolhemos M como origem do sistema de vetores. Definimos
MA=a, MC=-a
(pois M é ponto médio de AC) e
MB=b, MD=-b
(pois M é ponto médio de BD).

Passo 3

Calculamos AB e DC:
AB=MB-MA=b-a,
DC=MC-MD=-a-(-b)=b-a
Como AB=DC, segue que ABparal<=l DC e AB=DC.

Passo 4

De maneira análoga, calculamos BC e AD:
BC=MC-MB=-a-b=-(a+b),
AD=MD-MA=-b-a=-(a+b)
Logo BC=AD, o que implica BCparal<=l AD e BC=AD.

Passo 5

Vimos que os pares de lados opostos de ABCD são paralelos e congruentes. Essa é a condição que garante que ABCD é um paralelogramo.

Resposta

O quadrilátero ABCD é um paralelogramo.

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