Dado dois segmentos quaisquer e , que se interceptam no ponto médio comum , mostre que os pontos e formam o paralelogramo .
Passo 1
O enunciado dá dois segmentos e que se interceptam em , de modo que é ponto médio de e também de . Queremos mostrar que o quadrilátero é um paralelogramo. Vamos usar noções de vetores e a propriedade de que, se as diagonais de um quadrilátero se bissetam, então ele é paralelogramo.
Passo 2
Escolhemos como origem do sistema de vetores. Definimos
(pois M é ponto médio de AC) e
MB=b, MD=-b
(pois M é ponto médio de BD).
Passo 3
Calculamos AB e DC:
AB=MB-MA=b-a,
DC=MC-MD=-a-(-b)=b-a
Como AB=DC, segue que ABparal<=l DC e AB=DC.
Passo 4
De maneira análoga, calculamos BC e AD:
BC=MC-MB=-a-b=-(a+b),
AD=MD-MA=-b-a=-(a+b)
Logo BC=AD, o que implica BCparal<=l AD e BC=AD.
Passo 5
Vimos que os pares de lados opostos de ABCD são paralelos e congruentes. Essa é a condição que garante que ABCD é um paralelogramo.