Uma trapezista começa seu movimento com o trapézio em repouso a um ângulo de 45,0^{\circ} \mathrm{em} relação à vertical. As cordas do trapézio têm comprimento de 5,00 \mathrm{~m}. Qual é a sua velocidade no ponto mais baixo da trajetória? Resp. 5,41 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Ângulo inicial em relação à vertical: \theta=45,0^\circ.
    • Comprimento das cordas (raio do movimento): L=5,00\\ \mathrm{m}.
    • Parte inicial: repouso (velocidade inicial v_0=0).
  • O que o enunciado pede:
    • A velocidade da trapezista no ponto mais baixo da trajetória.

Passo 2

Entender a geometria do problema para achar a queda vertical \,h, entre a posição inicial e o ponto mais baixo.
  • O ponto de suspensão (o pivô) está a uma distância fixa L da trapezista.
  • Na posição mais baixa a distância vertical do pivô até a trapezista é L.
  • Quando o trapézio está inclinado a um ângulo \theta em relação à vertical, a componente vertical da posição da trapezista em relação ao pivô é L\cos\theta.
  • Logo, a queda vertical quando ela vai do ângulo \theta até o ponto mais baixo é h = L - L\cos\theta = L(1-\cos\theta).

Passo 3

Calcular numericamente a queda vertical \,h.
  • Primeiro a fórmula já obtida: h = L(1-\cos\theta).
  • Substituindo L=5,00\\ \mathrm{m} e \theta=45,0^\circ: \cos 45,0^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,70710678,
h = 5,00\bigl(1-0,70710678\bigr)=5,00\times 0,29289322\approx 1,46446609\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando razoavelmente, \,h\approx 1,464\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Usar conservação de energia para relacionar a energia potencial perdida com a energia cinética adquirida.
  • Princípio: desprezando atrito e perda de energia, a energia mecânica se conserva. Começando do repouso:
    • Energia inicial = energia potencial gravitacional mgh.
    • Energia final no ponto mais baixo = energia cinética \tfrac{1}{2}mv^2.
  • Escrita da conservação: m g h = \tfrac{1}{2} m v^2.
  • Cancelando m dos dois lados e isolando v: v = \sqrt{2 g h}.
  • Aqui g é a aceleração da gravidade (unidade \mathrm{m/s^2}), h é a queda vertical em metros e v é a velocidade em \mathrm{m/s}.

Passo 5

Substituir números e calcular v. (Nota: usar g=10,00\\ \mathrm{m/s^2} é uma aproximação comum e corresponde ao resultado pedido.)
  • Substituindo g=10,00\\ \mathrm{m/s^2} e h\approx 1,46446609\\ \mathrm{m}: v=\sqrt{2\cdot 10,00\cdot 1,46446609}=\sqrt{29,2893218}\approx 5,4115\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando com três algarismos significativos: v\approx 5,41\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

5,41\\ \mathrm{m/s}

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