Jack é um empresário conhecido por ser muito cauteloso com relação a suas informações. Ele tem um registro minucioso da composição de cada área de sua empresa e sabe que:
Área/Departamento
Executivo sênior
Executivo pleno
Executivo júnior
Financeiro
2
3
4
Advocacia
3
2
2
Contabilidade
4
1
1
Jack resolve visitar de surpresa um dos departamentos, escolhendo aleatoriamente um deles e consegue identificar de modo imediato dois executivos. Um deles é sênior e o outro, júnior. Assuma que os três departamentos são igualmente prováveis de serem visitados (as portas das salas são idênticas e equiprováveis). Com base nesses dados, calcule:
Qual é a chance de ser o departamento de contabilidade o visitado?
| Área/Departamento | Executivo sênior | Executivo pleno | Executivo júnior |
| Financeiro | 2 | 3 | 4 |
| Advocacia | 3 | 2 | 2 |
| Contabilidade | 4 | 1 | 1 |
Qual é a chance de ser o departamento de contabilidade o visitado?
Passo 1
O enunciado dá a composição de cada departamento (número de executivos por nível) e diz que Jack escolhe aleatoriamente um dos três departamentos (cada um com probabilidade igual). Ao entrar, ele identifica imediatamente dois executivos e a informação observada é: um deles é sênior e o outro é júnior. O que se pede é a probabilidade de que o departamento visitado seja Contabilidade, dado esse evento observado.
Dados extraídos da tabela:
- Financeiro:
sênior , pleno , júnior . - Advocacia:
sênior , pleno , júnior . - Contabilidade:
sênior , pleno , júnior .
Todas as três salas são igualmente prováveis de serem escolhidas a priori:
P(Financeiro)=P(Advocacia)=P(Contabilidade)=\dfrac{1}{3}).
Evento observado
: ao selecionar 2 executivos (sem reposição) do departamento visitado, a amostra contém exatamente um sênior e um júnior. Pergunta:
P(Contabilidade
).
Passo 2
Como modelar a observação? Ao entrar no departamento, suponho que os dois executivos identificados foram escolhidos aleatoriamente entre os funcionários daquele departamento, sem reposição. Assim, para cada departamento
temos uma probabilidade condicional
P(E
d)) de obter um par (sênior, júnior).
Vou usar probabilidade condicional e a regra de Bayes para calcular a probabilidade buscada:
Aqui
varia pelos três departamentos. Explico cada termo à medida que for calculando.
Passo 3
Como calcular
P(E
d)) para um departamento
?
- Seja
o número de sêniores no departamento . - Seja
o número de juniores no departamento . - Seja
o total de executivos no departamento , ou seja .
Número total de pares não ordenados possíveis ao escolher 2 pessoas de
é a combinação
Número de pares que contêm um sênior e um júnior (sem ordem) é
(cada sênior pode emparelhar com cada júnior). Logo
(Alternativamente, podia-se raciocinar sequencialmente e obter a mesma expressão.)
Passo 4
Calcular
P(E\mid d)) para cada departamento usando os números do Passo 1.
Financeiro:
,
,
.
Advocacia:
,
,
.
Contabilidade:
,
,
.
Passo 5
Aplicar a fórmula de Bayes. Como as probabilidades a priori são iguais (
), elas se cancelam na razão, então
Calcule o denominador com frações exatas. Usando denominador comum
:
soma
.
Logo
Simplificando
dividindo numerador e denominador por
: