Jack é um empresário conhecido por ser muito cauteloso com relação a suas informações. Ele tem um registro minucioso da composição de cada área de sua empresa e sabe que:
Área/Departamento Executivo sênior Executivo pleno Executivo júnior
Financeiro 2 3 4
Advocacia 3 2 2
Contabilidade 4 1 1
Jack resolve visitar de surpresa um dos departamentos, escolhendo aleatoriamente um deles e consegue identificar de modo imediato dois executivos. Um deles é sênior e o outro, júnior. Assuma que os três departamentos são igualmente prováveis de serem visitados (as portas das salas são idênticas e equiprováveis). Com base nesses dados, calcule:
Qual é a chance de ser o departamento de contabilidade o visitado?

Passo 1

O enunciado dá a composição de cada departamento (número de executivos por nível) e diz que Jack escolhe aleatoriamente um dos três departamentos (cada um com probabilidade igual). Ao entrar, ele identifica imediatamente dois executivos e a informação observada é: um deles é sênior e o outro é júnior. O que se pede é a probabilidade de que o departamento visitado seja Contabilidade, dado esse evento observado.
Dados extraídos da tabela:
  • Financeiro: sênior =2, pleno =3, júnior =4.
  • Advocacia: sênior =3, pleno =2, júnior =2.
  • Contabilidade: sênior =4, pleno =1, júnior =1.
Todas as três salas são igualmente prováveis de serem escolhidas a priori: P(Financeiro)=P(Advocacia)=P(Contabilidade)=\dfrac{1}{3}).
Evento observado E: ao selecionar 2 executivos (sem reposição) do departamento visitado, a amostra contém exatamente um sênior e um júnior. Pergunta: P(Contabilidade \mid E).

Passo 2

Como modelar a observação? Ao entrar no departamento, suponho que os dois executivos identificados foram escolhidos aleatoriamente entre os funcionários daquele departamento, sem reposição. Assim, para cada departamento d temos uma probabilidade condicional P(E \mid d)) de obter um par (sênior, júnior).
Vou usar probabilidade condicional e a regra de Bayes para calcular a probabilidade buscada:
\text{P(Contabilidade}\mid E)=\frac{\text{P}(E\mid \text{Contabilidade})\cdot\text{P}(\text{Contabilidade})} {\sum_{d}\text{P}(E\mid d)\cdot\text{P}(d)}.
Aqui d varia pelos três departamentos. Explico cada termo à medida que for calculando.

Passo 3

Como calcular P(E \mid d)) para um departamento d?
  • Seja s_d o número de sêniores no departamento d.
  • Seja j_d o número de juniores no departamento d.
  • Seja t_d o total de executivos no departamento d, ou seja t_d = s_d + (\text{pleno}) + j_d.
Número total de pares não ordenados possíveis ao escolher 2 pessoas de t_d é a combinação
\binom{t_d}{2}=\frac{t_d(t_d-1)}{2}.
Número de pares que contêm um sênior e um júnior (sem ordem) é s_d\cdot j_d (cada sênior pode emparelhar com cada júnior). Logo
\text{P}(E\mid d)=\frac{s_d\cdot j_d}{\binom{t_d}{2}}.
(Alternativamente, podia-se raciocinar sequencialmente e obter a mesma expressão.)

Passo 4

Calcular P(E\mid d)) para cada departamento usando os números do Passo 1.
Financeiro: s=2, j=4, t=2+3+4=9.
\text{P}(E\mid \text{Financeiro})=\frac{2\cdot4}{\binom{9}{2}}=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}.
Advocacia: s=3, j=2, t=3+2+2=7.
\text{P}(E\mid \text{Advocacia})=\frac{3\cdot2}{\binom{7}{2}}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}.
Contabilidade: s=4, j=1, t=4+1+1=6.
\text{P}(E\mid \text{Contabilidade})=\frac{4\cdot1}{\binom{6}{2}}=\frac{4}{15}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Bayes. Como as probabilidades a priori são iguais ( \dfrac{1}{3}), elas se cancelam na razão, então
\text{P}(\text{Contabilidade}\mid E) =\frac{\dfrac{4}{15}\cdot\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{3}\!\left(\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{7}+\dfrac{4}{15}\right)} =\frac{\dfrac{4}{15}}{\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{7}+\dfrac{4}{15}}.
Calcule o denominador com frações exatas. Usando denominador comum 315:
\dfrac{2}{9}=\dfrac{70}{315},\qquad \dfrac{2}{7}=\dfrac{90}{315},\qquad \dfrac{4}{15}=\dfrac{84}{315},
soma =\dfrac{70+90+84}{315}=\dfrac{244}{315}.
Logo
\text{P}(\text{Contabilidade}\mid E)=\frac{\dfrac{4}{15}}{\dfrac{244}{315}} =\dfrac{4}{15}\cdot\dfrac{315}{244}=\dfrac{84}{244}.
Simplificando \dfrac{84}{244} dividindo numerador e denominador por 4:
\text{P}(\text{Contabilidade}\mid E)=\dfrac{21}{61}\approx 0,3443.

Resposta

\dfrac{21}{61}\approx0,3443

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