Jack é um empresário conhecido por ser muito cauteloso com relação a suas informações. Ele tem um registro minucioso da composição de cada área de sua empresa e sabe que:
Área/Departamento Executivo sênior Executivo pleno Executivo júnior
Financeiro 2 3 4
Advocacia 3 2 2
Contabilidade 4 1 1
Jack resolve visitar de surpresa um dos departamentos, escolhendo aleatoriamente um deles e consegue identificar de modo imediato dois executivos. Um deles é sênior e o outro, júnior. Assuma que os três departamentos são igualmente prováveis de serem visitados (as portas das salas são idênticas e equiprováveis). Com base nesses dados, calcule:
Qual é a chance de a visita não ser na área de advocacia?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a chance de a visita não ser na área de advocacia?”
Informações dadas (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • As três áreas são igualmente prováveis de serem visitadas, portanto a priori cada área tem probabilidade \tfrac{1}{3}.
  • Número de executivos em cada área (peguei da tabela):
    • Financeiro: 2 executivos sênior, 3 executivos pleno, 4 executivos júnior.
    • Advocacia: 3 executivos sênior, 2 executivos pleno, 2 executivos júnior.
    • Contabilidade: 4 executivos sênior, 1 executivo pleno, 1 executivo júnior.
  • Observação feita durante a visita: dentre os dois executivos identificados, um é sênior e o outro é júnior.

Passo 2

Modelo de seleção que vamos usar (explicando devagarzinho):
  • Primeiro Jack escolhe um departamento com probabilidade \tfrac{1}{3} cada (dado do enunciado).
  • Dentro do departamento escolhido, Jack identifica dois executivos distintos (assumimos que esses dois são escolhidos aleatoriamente entre os funcionários desse departamento, sem substituição).
  • O evento observado é “os dois escolhidos são um sênior e um júnior” (não importa a ordem).
    Precisamos calcular a probabilidade a posteriori de que a área visitada NÃO seja Advocacia, dado que o evento observado ocorreu.

Passo 3

Como calcular a probabilidade de observar “um sênior e um júnior” em um dado departamento?
  • Se em uma área há s seniores, p plenos e j juniores, o total de funcionários é n=s+p+j.
  • O número total de pares distintos (sem ordem) que podem ser escolhidos é \displaystyle \binom{n}{2}.
  • O número de pares que contém exatamente um sênior e um júnior é s\cdot j (escolher 1 dos s seniores e 1 dos j juniores).
  • Portanto, a probabilidade de tirar um sênior e um júnior em duas escolhas aleatórias (sem ordem) desse departamento é
\mathbb{P}(\text{1 sênior \& 1 júnior} \mid \text{área})=\frac{s\cdot j}{\binom{n}{2}}.êúá
Vou aplicar essa fórmula a cada área usando os números da tabela.

Passo 4

Calcular as probabilidades condicionais para cada área (peguei os s,p,j da tabela):
  • Financeiro: s=2, p=3, j=4, n=9. \mathbb{P}(\text{1 s \& 1 j}\mid\text{Financeiro})=\frac{2\cdot4}{\binom{9}{2}}=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}.
  • Advocacia: s=3, p=2, j=2, n=7. \mathbb{P}(\text{1 s \& 1 j}\mid\text{Advocacia})=\frac{3\cdot2}{\binom{7}{2}}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}.
  • Contabilidade: s=4, p=1, j=1, n=6. \mathbb{P}(\text{1 s \& 1 j}\mid\text{Contabilidade})=\frac{4\cdot1}{\binom{6}{2}}=\frac{4}{15}.

Passo 5

Usar Teorema de Bayes para obter a probabilidade a posteriori de cada área, dado o evento observado.
  • Prior de cada área: \mathbb{P}(\text{área})=\tfrac{1}{3}á.
  • Probabilidade do evento (evidência) é
\mathbb{P}(\text{evento})=\sum_{\text{área}}\mathbb{P}(\text{evento}\mid\text{área})\mathbb{P}(\text{área}) =\frac{1}{3}\Big(\frac{2}{9}+\frac{2}{7}+\frac{4}{15}\Big).ááá
Calculemos os termos:
\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{9}=\frac{2}{27},\qquad \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{7}=\frac{2}{21},\qquad \frac{1}{3}\cdot\frac{4}{15}=\frac{4}{45}.
Somando:
\mathbb{P}(\text{evento})=\frac{2}{27}+\frac{2}{21}+\frac{4}{45}=\frac{244}{945}.
  • Agora a probabilidade de que a área seja Advocacia dado o evento é
\mathbb{P}(\text{Advocacia}\mid\text{evento}) =\frac{\mathbb{P}(\text{evento}\mid\text{Advocacia})\mathbb{P}(\text{Advocacia})}{\mathbb{P}(\text{evento})} =\frac{\tfrac{2}{21}}{\tfrac{244}{945}}=\frac{45}{122}.

Passo 6

A pergunta pede a probabilidade de a visita NÃO ser na área de Advocacia, que é o complemento:
\mathbb{P}(\text{não Advocacia}\mid\text{evento})=1-\mathbb{P}(\text{Advocacia}\mid\text{evento}) =1-\frac{45}{122}=\frac{77}{122}\approx 0,6311.ã
Interpretação rápida e motivadora: apesar de os três departamentos serem igualmente prováveis antes da observação, a informação “um é sênior e o outro júnior” torna a Advocacia relativamente mais plausível do que antes, mas ainda assim a probabilidade de NÃO ser Advocacia é maior que 0{,}6. Vai dar tudo certo na prova — você já entendeu como montar e aplicar Bayes passo a passo!

Resposta

\dfrac{77}{122}\approx 0,6311

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