Para a treliça de aço ( \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa} ) e o carregamento mostrado, determine as deformações dos componentes AB e AD , sabendo que suas áreas de seção transversal são, respectivamente, 2600 \mathrm{mm}^{2} e 1800 \mathrm{~mm}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as deformações dos componentes AB e AD da treliça. As informações explícitas dadas no enunciado são:
E = 200\\ \mathrm{GPa},
A_{AB} = 2600\\ \mathrm{mm}^2,
A_{AD} = 1800\\ \mathrm{mm}^2.
Importante: o enunciado menciona “o carregamento mostrado”, ou seja, há uma figura com cargas, apoios e geometria da treliça que é necessária para resolver o problema. Essa figura (ou os dados equivalentes: coordenadas dos nós, posições e magnitudes das cargas, tipo de apoio) não foi enviada. Sem a figura ou esses dados não é possível calcular numericamente as forças axiais nos membros AB e AD, e portanto não é possível obter as deformações numéricas pedidas. Vou agora explicar passo a passo como se resolve esse tipo de problema quando a figura/valores estão disponíveis, para você aplicar na prova assim que tiver a figura à mão.

Passo 2

Princípio básico — relação tensão, força e deformação: em barras de treliça (membros sujeitos apenas à força axial), a sequência é:
  1. determinar a força axial F no membro (positiva se tracionada, negativa se comprimida);
  2. calcular a tensão média \sigma pelo equilíbrio da seção;
  3. obter a deformação axial \varepsilon pela lei de Hooke linear.
As fórmulas são:
\sigma = \frac{F}{A},
\varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{F}{A\,E}.
Explicando as variáveis:
  • F é a força axial do membro, em \mathrm{N} (positiva = tração).
  • A é a área da seção transversal do membro, em \mathrm{mm}^2.
  • E é o módulo de elasticidade do material, em \mathrm{N/mm}^2 quando trabalhamos com \mathrm{mm} nas áreas e comprimentos.
  • \sigma é a tensão média em \mathrm{N/mm}^2 (que é igual a \mathrm{MPa}).
  • \varepsilon é a deformação adimensional (por exemplo, 10^{-6} significa microunidades).
Observação sobre unidades: o enunciado dá E=200\\ \mathrm{GPa}. Converter para \mathrm{N/mm}^2:
1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{N/mm}^2,
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E = 200\\ \mathrm{GPa} = 200000\\ \mathrm{N/mm}^2.

Passo 3

Como obter F (força axial) no membro — visão geral de métodos:
  • Primeiro, determine as reações de apoio resolvendo o equilíbrio global da treliça (somar momentos e forças horizontais/verticais).
  • Em seguida, use o método dos nós (joints) ou o método das seções (sections) para obter as forças axiais nos membros:
    • Método dos nós: isole um nó; escreva \sum F_x = 0 e \sum F_y = 0. Cada membro transmite uma força ao nó dirigida ao longo da linha do membro. Se houver apenas duas incógnitas nas equações de um nó, você resolve diretamente.
    • Método das seções: se quiser o esforço em um membro que cruza uma linha imaginária que corta a treliça, corte a treliça e aplique \sum F_x=0, \sum F_y=0 e \sum M=0 ao lado cortado para resolver até três incógnitas.
  • Observação (propriedade importante): membros de treliça ideais são “two-force members”: a força age apenas nas extremidades e é colinear com o membro.

Passo 4

Como escrever as equações de equilíbrio num nó (detalhe didático):
Suponha um nó A com três forças: F_{AB} ao longo do membro AB com ângulo \theta_{AB} medido em relação ao eixo horizontal, F_{AD} com ângulo \theta_{AD}, e uma reação vertical R_{Ay}. As equações em A seriam
\sum F_x: \quad F_{AB}\cos\theta_{AB} + F_{AD}\cos\theta_{AD} + R_{Ax} + (\text{outras}) = 0,
\sum F_y: \quad F_{AB}\sin\theta_{AB} + F_{AD}\sin\theta_{AD} + R_{Ay} + (\text{outras}) = 0.
Explicando cálculo de \cos\theta e \sin\theta: se você conhece as coordenadas dos nós, por exemplo nó A(x_A,y_A) e nó B(x_B,y_B), o comprimento do membro é
L_{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},
e
\cos\theta_{AB}=\frac{x_B-x_A}{L_{AB}},\qquad \sin\theta_{AB}=\frac{y_B-y_A}{L_{AB}}.
Esses componentes transformam a força axial, que é ao longo do membro, em componentes horizontais e verticais para as equações de equilíbrio.

Passo 5

Exemplo de procedimento passo a passo (sintético, sem números do seu enunciado):
  1. Identifique apoios e reações; calcule reações pelo equilíbrio global ( \sum F_x=0,\\ \sum F_y=0,\\ \sum M=0).
  2. Vá ao nó que tenha no máximo duas incógnitas e escreva \sum F_x=0 e \sum F_y=0 para resolver as forças axiais desses membros (metodo dos nós).
  3. Se necessário, use o método das seções para cortar a treliça e escrever \sum M=0 para obter uma força desejada diretamente.
  4. Ao obter F_{AB} e F_{AD} (em \mathrm{N}), calcule as tensões:
\sigma_{AB}=\frac{F_{AB}}{A_{AB}},\qquad \sigma_{AD}=\frac{F_{AD}}{A_{AD}}.
  1. Finalmente calcule as deformações:
\varepsilon_{AB}=\frac{\sigma_{AB}}{E}=\frac{F_{AB}}{A_{AB}E},
\varepsilon_{AD}=\frac{\sigma_{AD}}{E}=\frac{F_{AD}}{A_{AD}E}.
Interpretação de sinal: se F>0 (adotei convenção F>0 = tração), então \varepsilon>0 (alonga); se F<0, \varepsilon<0 (encurta/compressão).

Passo 6

Dica prática sobre unidades e escala: use sempre \mathrm{N} para forças e \mathrm{mm} para comprimentos/áreas se os dados de área estão em \mathrm{mm}^2. Com isso:
E=200\\ \mathrm{GPa}=200000\\ \mathrm{N/mm}^2.
Exemplo numérico ilustrativo (hipotético — NÃO use estes números como resposta do seu enunciado; são só para treinar o procedimento): suponha que, após equilíbrio, você ache F_{AB}=5000\\ \mathrm{N} (tração) e F_{AD}=-3000\\ \mathrm{N} (compressão). Então
\sigma_{AB}=\frac{5000}{2600}\\ \mathrm{N/mm}^2\approx 1{,}9231\\ \mathrm{N/mm}^2,
\varepsilon_{AB}=\frac{1{,}9231}{200000}\approx 9{,}615\times 10^{-6}.
E para AD:
\sigma_{AD}=\frac{-3000}{1800}\\ \mathrm{N/mm}^2\approx -1{,}6667\\ \mathrm{N/mm}^2,
\varepsilon_{AD}=\frac{-1{,}6667}{200000}\approx -8{,}333\times 10^{-6}.
Esses cálculos mostram exatamente como aplicar as fórmulas quando F é conhecido.

Passo 7

Checklist para você na prova (passo a passo rápido e prático):
  1. Verifique apoios e carregamentos na figura; marque reações desconhecidas.
  2. Calcule reações pelo equilíbrio global.
  3. Escolha um nó com poucas incógnitas e aplique \sum F_x=0,\\ \sum F_y=0 (método dos nós) ou corte a treliça (método das seções).
  4. Calcule F para AB e AD.
  5. Use \varepsilon = F/(A E) com E em \mathrm{N/mm}^2 e A em \mathrm{mm}^2.
  6. Verifique sinais (tração positivo / compressão negativo) e unidades.
    Sugestão emocional rápida: respira fundo — segue a lógica passo a passo e cada equação tem um propósito; vai dar certo.

Resposta

Não é possível determinar as deformações de AB e AD porque a figura com a geometria da treliça, os apoios e as magnitudes/direções das cargas (os dados de carregamento) não foi fornecida.

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