O trem-bala francês conhecido como TGV (Train à Grande Vitesse) possui uma velocidade média programada de 216 km/h. (a) Se o trem faz uma curva àquela velocidade e o módulo da aceleração que os passageiros sentem deve ser limitado a 0,050g (g = aceleração (a gravidade), qual é o menor raio de curvatura admissível para os trilhos? (b) A que velocidade o trem deve fazer uma curva com um raio de l km para que esteja no limite da aceleração?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre o trem-bala francês, o TGV, que viaja a uma velocidade média de 216 km/h. A gente vai usar conceitos de movimento circular e aceleração centrípeta para resolver duas partes:
(a) Encontrar o menor raio de curva que os trilhos podem ter para que a aceleração sentida pelos passageiros não ultrapasse 0,050g.
(b) Descobrir a velocidade máxima que o trem pode ter em uma curva com raio de 1 km sem exceder essa aceleração.
(a) Encontrar o menor raio de curva que os trilhos podem ter para que a aceleração sentida pelos passageiros não ultrapasse 0,050g.
(b) Descobrir a velocidade máxima que o trem pode ter em uma curva com raio de 1 km sem exceder essa aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre aceleração centrípeta. Quando um objeto, como o trem, se move em uma curva, ele precisa de uma aceleração direcionada para o centro da curva para manter esse movimento circular. A fórmula para a aceleração centrípeta é:
Onde:
- $ a_c $ é a aceleração centrípeta,
- $ v $ é a velocidade do objeto,
- $ R $ é o raio da curva.
Passo 3
Vamos resolver a parte (a). Queremos o menor raio $ R $ que mantém a aceleração $ a_c $ ≤ 0,050g. Primeiro, precisamos converter tudo para unidades compatíveis.
Sabemos que:
- $ g = 9,8 , m/s^2 $,
- $ a_c = 0,050g = 0,050 \times 9,8 = 0,49 , m/s^2 $.
Também precisamos converter a velocidade de km/h para m/s:
- $ 216 , km/h = \frac{216 \times 1000}{3600} = 60 , m/s $.
Agora, usamos a fórmula da aceleração centrípeta e isolamos $ R $:
Passo 4
Agora, para a parte (b), queremos encontrar a velocidade $ v $ máxima que o trem pode ter em uma curva de raio $ R = 1 , km = 1000 , m $, mantendo $ a_c = 0,49 , m/s^2 $.
Usamos a mesma fórmula, mas agora isolamos $ v $:
Convertendo para km/h:
Resposta
(a) O menor raio de curvatura admissível é aproximadamente 7347 metros.
(b) A velocidade máxima permitida na curva de 1 km é aproximadamente 79,7 km/h.
(b) A velocidade máxima permitida na curva de 1 km é aproximadamente 79,7 km/h.