Um trem se move ao longo de um trilho reto por uma distancia total de 1,2 km, partindo do repouso e chegando ao repouso novamente. No primeiro terço do percurso, a aceleração é +1,80 m / s^2. Nos dois últimos terços, a aceleração é -0,60 m / s^2.
(a) Qual é o tempo necessário para percorrer os 1,2 km ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o movimento de um trem que percorre 1,2 km, começando e terminando em repouso. No primeiro terço do trajeto (400 metros), o trem acelera a $ +1,80 , \mathrm{m/s}^2 $, e nos últimos dois terços (800 metros), ele desacelera a $ -0,60 , \mathrm{m/s}^2 $. Vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento sem considerar suas causas, e precisa calcular o tempo total que o trem leva para completar essa viagem.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o trajeto em duas partes: a primeira de 400 metros com aceleração positiva, e a segunda de 800 metros com aceleração negativa. Vamos calcular o tempo gasto em cada parte separadamente e depois somar para encontrar o tempo total.

Passo 3

Primeira parte (400 metros com aceleração $ a_1 = +1,80 , \mathrm{m/s}^2 $):
Começamos do repouso, então a velocidade inicial $ v_{0,1} = 0 $.
Vamos usar a equação do movimento uniformemente variado:
a1 = +1,80 , m/s^2
Substituindo os valores:
v0,1 = 0
Simplificando:
s = v0 t + 12 a t^2
Isolando $ t_1 $:
400 = 0 cdot t1 + 12 cdot 1,80 cdot t1^2
400 = 0,9 , t1^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade ao final da primeira parte, que será a velocidade inicial para a segunda parte:
v1 = v0,1 + a1 t1 = 0 + 1,80 cdot 21,08 approx 37,94 , m/s

Passo 5

Segunda parte (800 metros com aceleração $ a_2 = -0,60 , \mathrm{m/s}^2 $):
Aqui, o trem está desacelerando, começando com $ v_1 \approx 37,94 , \mathrm{m/s} $ e terminando em repouso.
Usamos novamente a equação do movimento:
a2 = -0,60 , m/s^2
Substituindo os valores:
v1 approx 37,94 , m/s
Simplificando:
s = v1 t2 + 12 a2 t2^2
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
800 = 37,94 cdot t2 + 12 cdot (-0,60) cdot t2^2
Resolvendo essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
800 = 37,94 , t2 - 0,3 , t2^2
Calculando o discriminante:
0,3 , t2^2 - 37,94 , t2 + 800 = 0
Portanto:
t2 = 37,94 pm raiz(37,94)^2 - 4 cdot 0,3 cdot 8002 cdot 0,3
Desconsideramos a solução negativa:
De

Passo 6

Agora, somamos os tempos das duas partes para encontrar o tempo total:
T = t1 + t2 approx 21,08 + 99,77 approx 120,85 , s

Resposta

O tempo necessário para percorrer os 1,2 , km é de aproximadamente 120,85 segundos.

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