Para os vetores
, determine
(a) em termos de vetores unitários, (b) do módulo e (c) do ângulo (em relação ao versor i). Determine
(d) em termos de vetores unitários, (e) do módulo e (f) do ângulo (em relação ao versor i).
Passo 1
O enunciado dá os dois vetores (em metros) e pede operações e características geométricas deles. Aqui está o que precisamos encontrar, de forma clara:
- Dados:
- Perguntas:
(a)em termos de vetores unitários ( );
(b) módulo de;
(c) ângulo deem relação ao versor (ou seja, o ângulo que o vetor faz com o eixo , medido no sentido anti-horário);
(d)em termos de vetores unitários;
(e) módulo de;
(f) ângulo deem relação ao versor .
Nada mais será assumido: vamos fazer passo a passo as operações com as componentes.
Passo 2
Relembrando a regra básica (passo-a-passo): para somar ou subtrair vetores dados em componentes cartesianas, somamos/subtraímos componente a componente. Se
então
Aqui
é o versor na direção do eixo
(unitário e de magnitude
) e
é o versor na direção do eixo
. Essas operações são puramente aritméticas nas componentes.
Passo 3
Calculemos
componete a componete usando os dados:
- componente
: - componente
:
Portanto a soma em termos de vetores unitários é
Passo 4
Agora vamos achar o módulo de
. A fórmula do módulo (ou comprimento) de um vetor com componentes
e
é o teorema de Pitágoras:
Aplicando a
, com
e
,
Podemos simplificar a raiz em forma radical:
Se quisermos uma aproximação decimal (útil na prova se for pedido valor numérico),
Passo 5
Agora o ângulo de
em relação a
: para um vetor com componentes
e
o ângulo
medido a partir do eixo
no sentido anti-horário satisfaz
Importante: o arco-tangente fornece um valor principal; devemos observar o sinal de
e
para determinar o quadrante do ângulo. No nosso caso para
temos
e
, portanto o vetor está no primeiro quadrante e o ângulo será
Usando uma calculadora ou tabela de arctangente (ou lembrando que
é um ângulo pequeno), obtemos a aproximação em graus:
Se preferir em radianos,
, mas aqui vamos deixar em graus conforme pedido.
Passo 6
Agora vamos calcular
componete a componete:
- componente
: - componente
:
Logo
Passo 7
Módulo de
: usando a mesma fórmula de módulo,
Podemos simplificar:
Aproximação decimal:
Passo 8
Ângulo de
em relação a
: novamente usamos
. Aqui
e
, então o vetor está no quarto quadrante (à direita e para baixo). Calculamos o ângulo de referência com o valor absoluto da tangente e, em seguida, ajustamos o sinal:
Ambas as representações descrevem a mesma direção; escolha a que o professor pedir (ângulo negativo ou ângulo no intervalo
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) (ou
).
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)