Para os vetores \vec{a}=(3,0 \hat{i}+4,0 \hat{j}) m \mathrm{e} \vec{b}=(5,0 \hat{i}-2,0 \hat{j}) m, determine \vec{a}+\vec{b} (a) em termos de vetores unitários, (b) do módulo e (c) do ângulo (em relação ao versor i). Determine \vec{b}-\vec{a} (d) em termos de vetores unitários, (e) do módulo e (f) do ângulo (em relação ao versor i).

Passo 1

O enunciado dá os dois vetores (em metros) e pede operações e características geométricas deles. Aqui está o que precisamos encontrar, de forma clara:
  • Dados: \vec{a}=(3{,}0\:\hat{i}+4{,}0\:\hat{j})\:\mathrm{m}
\vec{b}=(5{,}0\:\hat{i}-2{,}0\:\hat{j})\:\mathrm{m}
  • Perguntas:
    (a) \vec{a}+\vec{b} em termos de vetores unitários ( \hat{i},\hat{j});
    (b) módulo de \vec{a}+\vec{b};
    (c) ângulo de \vec{a}+\vec{b} em relação ao versor \hat{i} (ou seja, o ângulo que o vetor faz com o eixo x, medido no sentido anti-horário);
    (d) \vec{b}-\vec{a} em termos de vetores unitários;
    (e) módulo de \vec{b}-\vec{a};
    (f) ângulo de \vec{b}-\vec{a} em relação ao versor \hat{i}.
    Nada mais será assumido: vamos fazer passo a passo as operações com as componentes.

Passo 2

Relembrando a regra básica (passo-a-passo): para somar ou subtrair vetores dados em componentes cartesianas, somamos/subtraímos componente a componente. Se
\vec{u}=u_x\:\hat{i}+u_y\:\hat{j},\qquad \vec{v}=v_x\:\hat{i}+v_y\:\hat{j},
então
\vec{u}+\vec{v}=(u_x+v_x)\:\hat{i}+(u_y+v_y)\:\hat{j},
\vec{v}-\vec{u}=(v_x-u_x)\:\hat{i}+(v_y-u_y)\:\hat{j}.
Aqui \hat{i} é o versor na direção do eixo x (unitário e de magnitude 1) e \hat{j} é o versor na direção do eixo y. Essas operações são puramente aritméticas nas componentes.

Passo 3

Calculemos \vec{a}+\vec{b} componete a componete usando os dados:
  • componente x: 3{,}0 + 5{,}0 = 8{,}0
  • componente y: 4{,}0 + (-2{,}0) = 2{,}0
Portanto a soma em termos de vetores unitários é
\vec{a}+\vec{b}=8{,}0\:\hat{i}+2{,}0\:\hat{j}\:\mathrm{m}.

Passo 4

Agora vamos achar o módulo de \vec{a}+\vec{b}. A fórmula do módulo (ou comprimento) de um vetor com componentes x e y é o teorema de Pitágoras:
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Aplicando a \vec{a}+\vec{b}, com v_x=8{,}0 e v_y=2{,}0,
\|\vec{a}+\vec{b}\|=\sqrt{8{,}0^{2}+2{,}0^{2}}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}.
Podemos simplificar a raiz em forma radical:
\sqrt{68}=2\sqrt{17}.
Se quisermos uma aproximação decimal (útil na prova se for pedido valor numérico),
\sqrt{68}\approx 8{,}246.

Passo 5

Agora o ângulo de \vec{a}+\vec{b} em relação a \hat{i}: para um vetor com componentes v_x e v_y o ângulo \theta medido a partir do eixo x no sentido anti-horário satisfaz
\tan\theta=\frac{v_y}{v_x}.
Importante: o arco-tangente fornece um valor principal; devemos observar o sinal de v_x e v_y para determinar o quadrante do ângulo. No nosso caso para \vec{a}+\vec{b} temos v_x=8{,}0>0 e v_y=2{,}0>0, portanto o vetor está no primeiro quadrante e o ângulo será
\theta=\arctan\!\left(\frac{2{,}0}{8{,}0}\right)=\arctan(0{,}25).
Usando uma calculadora ou tabela de arctangente (ou lembrando que \arctan(0{,}25) é um ângulo pequeno), obtemos a aproximação em graus:
\theta\approx 14{,}04^\circ.
Se preferir em radianos, \theta\approx 0{,}245\\ \text{rad}, mas aqui vamos deixar em graus conforme pedido.

Passo 6

Agora vamos calcular \vec{b}-\vec{a} componete a componete:
  • componente x: 5{,}0-3{,}0=2{,}0
  • componente y: -2{,}0-4{,}0=-6{,}0
Logo
\vec{b}-\vec{a}=2{,}0\:\hat{i}-6{,}0\:\hat{j}\:\mathrm{m}.

Passo 7

Módulo de \vec{b}-\vec{a}: usando a mesma fórmula de módulo,
\|\vec{b}-\vec{a}\|=\sqrt{2{,}0^{2}+(-6{,}0)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}.
Podemos simplificar:
\sqrt{40}=2\sqrt{10}.
Aproximação decimal:
\sqrt{40}\approx 6{,}325.

Passo 8

Ângulo de \vec{b}-\vec{a} em relação a \hat{i}: novamente usamos \tan\theta=\dfrac{v_y}{v_x}. Aqui v_x=2{,}0>0 e v_y=-6{,}0<0, então o vetor está no quarto quadrante (à direita e para baixo). Calculamos o ângulo de referência com o valor absoluto da tangente e, em seguida, ajustamos o sinal:
\theta_{\text{ref}}=\arctan\!\left(\frac{|{-6{,}0}|}{2{,}0}\right)=\arctan(3).
\arctan(3) é aproximadamente 71{,}565^\circ. Como v_y é negativo e v_x positivo, o ângulo medido a partir do eixo +x é negativo (no sentido horário) ou, equivalentemente, podemos dar a medida entre 0^\circ e 360^\circ:
\theta \approx -71{,}57^\circ \quad\text{ou}\quad \theta \approx 360^\circ-71{,}57^\circ=288{,}43^\circ.
Ambas as representações descrevem a mesma direção; escolha a que o professor pedir (ângulo negativo ou ângulo no intervalo [0^\circ,360^\circ)).

Resposta

(a) \vec{a}+\vec{b}=8{,}0\:\hat{i}+2{,}0\:\hat{j}\:\mathrm{m}
(b) \|\vec{a}+\vec{b}\|= \sqrt{68}=2\sqrt{17}\approx 8{,}246\:\mathrm{m}
(c) \theta_{\,\vec{a}+\vec{b}}=\arctan(0{,}25)\approx 14{,}04^\circ
(d) \vec{b}-\vec{a}=2{,}0\:\hat{i}-6{,}0\:\hat{j}\:\mathrm{m}
(e) \|\vec{b}-\vec{a}\|=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6{,}325\:\mathrm{m}
(f) \theta_{\,\vec{b}-\vec{a}}=\arctan\!\left(\dfrac{-6{,}0}{2{,}0}\right)\approx -71{,}57^\circ (ou 288{,}43^\circ).

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