Um trem viaja em direção sul com uma velocidade de 30 m / s em relação ao solo, sob uma chuva que é soprada por um vento também dirigido para o sul. A trajetória de cada gota de chuva faz um ângulo de 22^circ com a vertical, medido por um observador estacionário em relação à Terra. Um observador sentado no trem, entretanto, vê que os traços deixados pela chuva na janela são perfeitamente verticais. Determine a velocidade das gotas da chuva em relação ao solo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um trem vai para o sul a 30 m/s (medidos em relação ao solo) e está chovendo com um vento também para o sul. Um observador no solo vê cada gota fazer um ângulo de 22° em relação à vertical (devido à componente horizontal do vento). Mas quem está dentro do trem vê as gotas caindo perfeitamente vertical.
Conteúdo: cinemática – velocidade relativa de partículas, decomposição vetorial e trigonometria básica (tan, pitágoras).
O que vamos precisar:
  • Entender o conceito de velocidade relativa (entre trem e chuva).
  • Decompor a velocidade da chuva em vertical e horizontal.
  • Usar a tangente para relacionar componentes e achar a velocidade vertical.
  • Calcular a magnitude final via Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar da fórmula de velocidade relativa:
vRT = vRG - vTG
onde
  • vRT,x = 0 é a velocidade da chuva vista do trem,
  • vRT,x = vRG,x - vTG,x é a velocidade da chuva vista do solo,
  • vTG,x = +30 m/s é a velocidade do trem em relação ao solo.
A frase “o observador no trem vê as gotas caindo verticalmente” significa que, na visão dele, não há componente horizontal:
vRG,x = vTG,x = 30 m/s
Mas
Como o trem vai para o sul a m/s, tomamos “sul” como eixo , então
Para anular a componente horizontal na visão do trem, precisamos que

Passo 3

Agora, no referencial do solo, a gota tem duas componentes:
  • horizontal (para o sul): tan(22^circ) = componente horizontalcomponente vertical = vRG,xvRG,y ,
  • vertical (para baixo): vRG,y = vRG,xtan(22^circ) = 30tan(22^circ) m/s (ainda desconhecida).
O enunciado diz que em relação ao solo a trajetória faz 22° com a vertical. A gente sabe que
tan(22^circ)approx 0.4040 Longrightarrow vRG,yapprox 300.4040approx 74,3 m/s
Logo, isolando :
Basta calcular:
(para baixo).

Passo 4

Agora temos as duas componentes da velocidade da gota, vistas do solo:
vRG,x = 30 m/s, vRG,y = 74,3 m/s
A magnitude é dada pelo Pitágoras:
|vRG| = raizvRG,x^2 + vRG,y^2 = raiz30^2 + (74,3)^2 m/s
Fazendo as contas:
|vRG|approx raiz900 + 5517approx raiz6417approx 80,1 m/s

Resposta

A velocidade da chuva em relação ao solo tem módulo de aproximadamente
boxed80,1 m/s
com componentes para o sul e para baixo (trajetória a da vertical).

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