Um trenó carregado com estudantes (peso total w) desliza por uma colina coberta de neve que faz um ângulo constante \alpha com a horizontal. O trenó está bem encerado, de modo que praticamente não há atrito. Qual é a sua aceleração?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados fornecidos:
    • O trenó tem peso total \,w (força peso resultante de todos os estudantes + trenó).
    • A colina é um plano inclinado que faz um ângulo constante \alpha com a horizontal.
    • Não há atrito (superfície praticamente sem atrito).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a aceleração do trenó enquanto desliza por esse plano inclinado (ou seja, a aceleração ao longo do plano).

Passo 2

Vamos organizar as forças que atuam no trenó e escolher um sistema de coordenadas prático.
  • Forças atuantes:
    • Peso: força vertical para baixo de magnitude \,w.
    • Força normal \,N: perpendicular à superfície, apontando para fora do plano.
    • Não existe força de atrito (ou é desprezível), então não há componente de atrito paralela ao plano.
  • Escolha de eixos (facilita muito):
    • Eixo x: paralelo à superfície do plano, com sentido positivo para baixo do plano (direção em que o trenó se move).
    • Eixo y: perpendicular à superfície, apontando para fora do plano.
Explicação curta do porquê: assim a aceleração que queremos é simplesmente a componente ao longo do eixo x.

Passo 3

Agora decompomos o peso \,w nas componentes ao longo desses eixos. Essa é uma ideia fundamental: uma força qualquer pode ser quebrada em componentes ortogonais.
  • Visualização geométrica (idéia):
    • A força peso é vertical para baixo.
    • Quando coloca-se o triângulo formado pelas direções vertical e pela normal ao plano, o ângulo entre a vertical e a normal é \alpha. A partir disso vem as componentes trigonométricas.
  • Componentes do peso:
    • Componente perpendicular ao plano (eixo y): \,w\cos\alpha.
    • Componente paralela ao plano (eixo x, apontando para baixo do plano): \,w\sin\alpha.
Rápida justificativa trigonométrica: num triângulo retângulo formado pelas direções, a componente paralela é o cateto oposto ao ângulo \alpha, logo envolve \sin\alpha; a perpendicular é o cateto adjacente, logo envolve \cos\alpha.

Passo 4

Equilíbrio na direção perpendicular ao plano (não há movimento nessa direção):
  • Aplicando a Segunda Lei de Newton na direção y: \sum F_y = m a_y.Como não há aceleração perpendicular ao plano, a_y=0. As forças na direção y são N (para fora do plano) e a componente w\cos\alpha (para dentro do plano). Portanto: N - w\cos\alpha = 0.Assim obtemos: N = w\cos\alpha.
Esse resultado só serve para determinar a normal; não influencia diretamente a aceleração ao longo do plano quando não há atrito, mas é útil entender a força de contato.

Passo 5

Forças na direção paralela ao plano e aplicação de F=ma:
  • Na direção x (paralela ao plano), a única força não anulada é a componente do peso para baixo do plano:
    \sum F_x = w\sin\alpha.
  • Use a Segunda Lei na direção x:
    \sum F_x = m a.
    Portanto
    m a = w\sin\alpha.
  • Relacione massa m e peso w: por definição do peso, \,w = m g, onde g é a aceleração da gravidade. Logo:
    m = \frac{w}{g}.
  • Substituindo m em m a = w\sin\alpha:
    \frac{w}{g}\,a = w\sin\alpha.
  • Simplificando (dividindo ambos os lados por w, que assumimos não nulo):
    \frac{a}{g} = \sin\alpha.
  • Finalmente:
    a = g\sin\alpha.
Esses passos mostram passo a passo como a componente do peso gera a aceleração e como o peso w some na conta quando se usa m = w/g.

Passo 6

Interpretação física e exemplos rápidos (motivação):
  • A aceleração é independente da massa do trenó e dos estudantes: ela depende apenas de g e do ângulo \alpha.
  • Casos particulares:
    • Se \alpha=0 (plano horizontal), \sin\alpha=0 e a=0 — nada desliza.
    • Se \alpha=90^\circ (queda livre vertical), \sin\alpha=1 e a=g — queda livre.
  • Exemplo numérico: com g=9{,}8\\ \text{m/s}^2 e \alpha=30^\circ ( \sin30^\circ=0{,}5): a = 9{,}8\cdot 0{,}5 = 4{,}9\\ \text{m/s}^2.
Força de incentivo: esse é um resultado clássico e muito usado — memorizando a=g\sin\alpha e sabendo por que aparece, resolve muitas questões de prova!

Resposta

a = g\sin\alpha

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