Um trenó carregado com estudantes (peso total w) desliza por uma colina coberta de neve que faz um ângulo constante
com a horizontal. O trenó está bem encerado, de modo que praticamente não há atrito. Qual é a sua aceleração?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dados fornecidos:
- O trenó tem peso total
(força peso resultante de todos os estudantes + trenó). - A colina é um plano inclinado que faz um ângulo constante
com a horizontal. - Não há atrito (superfície praticamente sem atrito).
- O trenó tem peso total
- O que o enunciado pede:
- Determinar a aceleração do trenó enquanto desliza por esse plano inclinado (ou seja, a aceleração ao longo do plano).
Passo 2
Vamos organizar as forças que atuam no trenó e escolher um sistema de coordenadas prático.
-
Forças atuantes:
- Peso: força vertical para baixo de magnitude
. - Força normal
: perpendicular à superfície, apontando para fora do plano. - Não existe força de atrito (ou é desprezível), então não há componente de atrito paralela ao plano.
- Peso: força vertical para baixo de magnitude
-
Escolha de eixos (facilita muito):
- Eixo
: paralelo à superfície do plano, com sentido positivo para baixo do plano (direção em que o trenó se move). - Eixo
: perpendicular à superfície, apontando para fora do plano.
- Eixo
Explicação curta do porquê: assim a aceleração que queremos é simplesmente a componente ao longo do eixo
.
Passo 3
Agora decompomos o peso
nas componentes ao longo desses eixos. Essa é uma ideia fundamental: uma força qualquer pode ser quebrada em componentes ortogonais.
-
Visualização geométrica (idéia):
- A força peso é vertical para baixo.
- Quando coloca-se o triângulo formado pelas direções vertical e pela normal ao plano, o ângulo entre a vertical e a normal é
. A partir disso vem as componentes trigonométricas.
-
Componentes do peso:
- Componente perpendicular ao plano (eixo
): . - Componente paralela ao plano (eixo
, apontando para baixo do plano): .
- Componente perpendicular ao plano (eixo
Rápida justificativa trigonométrica: num triângulo retângulo formado pelas direções, a componente paralela é o cateto oposto ao ângulo
, logo envolve
; a perpendicular é o cateto adjacente, logo envolve
.
Passo 4
Equilíbrio na direção perpendicular ao plano (não há movimento nessa direção):
- Aplicando a Segunda Lei de Newton na direção
: Como não há aceleração perpendicular ao plano, . As forças na direção são (para fora do plano) e a componente (para dentro do plano). Portanto: Assim obtemos:
Esse resultado só serve para determinar a normal; não influencia diretamente a aceleração ao longo do plano quando não há atrito, mas é útil entender a força de contato.
Passo 5
Forças na direção paralela ao plano e aplicação de
:
-
Na direção
(paralela ao plano), a única força não anulada é a componente do peso para baixo do plano: -
Use a Segunda Lei na direção
: Portanto -
Relacione massa
e peso : por definição do peso, , onde é a aceleração da gravidade. Logo: -
Substituindo
em : -
Simplificando (dividindo ambos os lados por
, que assumimos não nulo): -
Finalmente:
Esses passos mostram passo a passo como a componente do peso gera a aceleração e como o peso
some na conta quando se usa
.
Passo 6
Interpretação física e exemplos rápidos (motivação):
- A aceleração é independente da massa do trenó e dos estudantes: ela depende apenas de
e do ângulo . - Casos particulares:
- Se
(plano horizontal), e — nada desliza. - Se
(queda livre vertical), e — queda livre.
- Se
- Exemplo numérico: com
e ( ):
Força de incentivo: esse é um resultado clássico e muito usado — memorizando
e sabendo por que aparece, resolve muitas questões de prova!