Um trenó cuja massa vale 10 kg carrega 40 kg de areia. Partindo do repouso, ele desliza sobre uma encosta de 100 m de comprimento coberta de neve e com inclinação de
em relação à horizontal. O trenó possui um orifício no fundo por onde a areia sai com uma taxa de
. Quanto tempo levará o trenó para atingir o sopé da encosta?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema que envolve mecânica, mais especificamente o estudo do movimento de um objeto que está descendo uma rampa inclinada. O exercício fala sobre um trenó de 10 kg que está carregando 40 kg de areia. Esse trenó começa do repouso e desliza por uma encosta de 100 metros com uma inclinação de
. Além disso, tem um detalhe importante: a areia está saindo do trenó a uma taxa de
. Precisamos descobrir quanto tempo o trenó leva para descer toda a encosta.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica envolvendo massa variável e aceleração em um plano inclinado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a massa do trenó muda ao longo do tempo. O trenó começa com uma massa total de
. A areia está saindo a
, então a massa total do sistema vai diminuindo com o tempo. Podemos expressar a massa
do trenó em função do tempo
assim:
Passo 3
Agora, vamos pensar nas forças que atuam no trenó enquanto ele desce a encosta. A força que vai acelerar o trenó para baixo é a componente do peso na direção da rampa. Essa força é dada por:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade, -
é o ângulo de inclinação da rampa.
Então, substituindo:
Passo 4
Como o trenó está descendo sem resistência do atrito (ou seja, a rampa está completamente lisa), a única força que provoca a aceleração é
. A segunda lei de Newton nos diz que:
Onde
é a aceleração do trenó no tempo
.
Portanto, temos:
Simplificando, percebemos que:
Curiosamente, a aceleração é constante nesse caso, mesmo com a massa variável. Isso acontece porque a taxa de variação da massa está sendo uniformemente compensada pela força resultante.
Passo 5
Agora que sabemos que a aceleração é constante, podemos usar as equações do movimento uniformemente acelerado para encontrar o tempo necessário para percorrer os 100 metros.
A equação que relaciona distância
, aceleração
e tempo
quando partimos do repouso é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para
:
Resposta
O trenó levará aproximadamente 6,39 segundos para atingir o sopé da encosta.