Um trenó cuja massa vale 10 kg carrega 40 kg de areia. Partindo do repouso, ele desliza sobre uma encosta de 100 m de comprimento coberta de neve e com inclinação de 30^circ em relação à horizontal. O trenó possui um orifício no fundo por onde a areia sai com uma taxa de 2,5 kg / s. Quanto tempo levará o trenó para atingir o sopé da encosta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema que envolve mecânica, mais especificamente o estudo do movimento de um objeto que está descendo uma rampa inclinada. O exercício fala sobre um trenó de 10 kg que está carregando 40 kg de areia. Esse trenó começa do repouso e desliza por uma encosta de 100 metros com uma inclinação de 30^circ. Além disso, tem um detalhe importante: a areia está saindo do trenó a uma taxa de 2,5 , kg/s. Precisamos descobrir quanto tempo o trenó leva para descer toda a encosta.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica envolvendo massa variável e aceleração em um plano inclinado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a massa do trenó muda ao longo do tempo. O trenó começa com uma massa total de 10 , kg + 40 , kg = 50 , kg. A areia está saindo a 2,5 , kg/s, então a massa total do sistema vai diminuindo com o tempo. Podemos expressar a massa m(t) do trenó em função do tempo t assim:
m(t) = 50 , kg - 2,5 , kg/s times t

Passo 3

Agora, vamos pensar nas forças que atuam no trenó enquanto ele desce a encosta. A força que vai acelerar o trenó para baixo é a componente do peso na direção da rampa. Essa força é dada por:
Fpara<=la = m(t) times g times sin(theta)
Onde:
  • g = 9,8 , m/s^2 é a aceleração da gravidade,
  • theta = 30^circ é o ângulo de inclinação da rampa.
Então, substituindo:
Fpara<=la = m(t) times 9,8 times sin(30^circ)
sin(30^circ) = 0,5 Rightarrow Fpara<=la = m(t) times 9,8 times 0,5 = m(t) times 4,9 , N

Passo 4

Como o trenó está descendo sem resistência do atrito (ou seja, a rampa está completamente lisa), a única força que provoca a aceleração é Fpara<=la. A segunda lei de Newton nos diz que:
F = m(t) times a(t)
Onde a(t) é a aceleração do trenó no tempo t.
Portanto, temos:
m(t) times a(t) = m(t) times 4,9
Simplificando, percebemos que:
a(t) = 4,9 , m/s^2
Curiosamente, a aceleração é constante nesse caso, mesmo com a massa variável. Isso acontece porque a taxa de variação da massa está sendo uniformemente compensada pela força resultante.

Passo 5

Agora que sabemos que a aceleração é constante, podemos usar as equações do movimento uniformemente acelerado para encontrar o tempo necessário para percorrer os 100 metros.
A equação que relaciona distância s, aceleração a e tempo t quando partimos do repouso é:
s = 12 a t^2
Substituindo os valores que temos:
100 = 12 times 4,9 times t^2

Passo 6

Vamos resolver essa equação para t:
100 = 2,45 times t^2
t^2 = 1002,45 approx 40,816
t = raiz40,816 approx 6,39 , segundos

Resposta

O trenó levará aproximadamente 6,39 segundos para atingir o sopé da encosta.

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