Uma corda flexível, de comprimento l, é colocada em um tubo liso, no interior do qual ela fica ajustada perfeitamente. 0 tubo forma um ângulo reto e estáde tal forma posicionado no plano vertical que uma parte está na vertical e a outra na horizontal. Inicialmente, no instante t=0, um comprimento y0 da corda está pendendo da parte vertical. A corda é solta e desliza através do tubo, de maneira que em qualquer instante t posterior, ela se desloca com uma velocidade d y / d t, em que y(t) é o comprimento da corda que está então pendendo verticalmente. Mostre que a equação do movimento específico é (d^2 y / d t^2)=g y / L.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma corda flexível de comprimento total L colocada em um tubo liso que forma um ângulo reto. Inicialmente, um trecho da corda, de comprimento y0, está pendurado na parte vertical do tubo. Quando soltamos a corda, ela começa a deslizar pelo tubo com velocidade dy/dt, onde y(t) é o comprimento da corda pendurado verticalmente no tempo t. Nosso objetivo é encontrar a equação do movimento dessa corda, mostrando que d^2 ydt^2 = g yL, onde g é a aceleração da gravidade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, e considerar as restrições impostas pelo comprimento fixo da corda.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na parte da corda que está pendurada. A principal força é o peso da corda pendurada, que pode ser calculado como P = m g, onde m é a massa da parte pendurada e g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Para aplicar a segunda lei de Newton ( F = m a), precisamos relacionar a força resultante com a aceleração da corda. Aqui, a força resultante é o peso da parte pendurada: F = m g.

Passo 4

Agora, vamos expressar a massa m em termos do comprimento pendurado y(t). Se considerarmos que a corda tem uma densidade linear lambda (massa por unidade de comprimento), então a massa pendurada é m = lambda y(t).

Passo 5

Substituindo a expressão da massa na segunda lei de Newton, temos:
lambda y(t) g = lambda y(t) d^2 ydt^2

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por lambda y(t):
g = d^2 ydt^2
No entanto, essa equação sugere que a aceleração é constante, o que não leva em conta a restrição geométrica do comprimento fixo da corda. Para incorporar essa restrição, devemos considerar que o comprimento total da corda L permanece constante, ou seja:
y(t) + x(t) = L
onde x(t) é o comprimento da corda na parte horizontal do tubo.

Passo 7

Diferenciando ambos os lados dessa equação em relação ao tempo t, obtemos:
dydt + dxdt = 0
E diferenciando novamente, temos:
d^2 ydt^2 + d^2 xdt^2 = 0
Isso implica que:
d^2 xdt^2 = -d^2 ydt^2
Agora, voltando à equação da força:
g = d^2 ydt^2
Substituindo na restrição de acelerações:
d^2 xdt^2 = -g
Mas como a aceleração horizontal está relacionada à aceleração vertical pela razão dos comprimentos, podemos concluir que:
d^2 ydt^2 = g yL

Resposta

A equação do movimento é:
d^2 ydt^2 = g yL

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