Uma corda flexível, de comprimento
, é colocada em um tubo liso, no interior do qual ela fica ajustada perfeitamente. 0 tubo forma um ângulo reto e estáde tal forma posicionado no plano vertical que uma parte está na vertical e a outra na horizontal. Inicialmente, no instante
, um comprimento
da corda está pendendo da parte vertical. A corda é solta e desliza através do tubo, de maneira que em qualquer instante
posterior, ela se desloca com uma velocidade
, em que
é o comprimento da corda que está então pendendo verticalmente. Mostre que a equação do movimento específico é
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma corda flexível de comprimento total
colocada em um tubo liso que forma um ângulo reto. Inicialmente, um trecho da corda, de comprimento
, está pendurado na parte vertical do tubo. Quando soltamos a corda, ela começa a deslizar pelo tubo com velocidade
, onde
é o comprimento da corda pendurado verticalmente no tempo
. Nosso objetivo é encontrar a equação do movimento dessa corda, mostrando que
, onde
é a aceleração da gravidade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, e considerar as restrições impostas pelo comprimento fixo da corda.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na parte da corda que está pendurada. A principal força é o peso da corda pendurada, que pode ser calculado como
, onde
é a massa da parte pendurada e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Para aplicar a segunda lei de Newton (
), precisamos relacionar a força resultante com a aceleração da corda. Aqui, a força resultante é o peso da parte pendurada:
.
Passo 4
Agora, vamos expressar a massa
em termos do comprimento pendurado
. Se considerarmos que a corda tem uma densidade linear
(massa por unidade de comprimento), então a massa pendurada é
.
Passo 5
Substituindo a expressão da massa na segunda lei de Newton, temos:
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
No entanto, essa equação sugere que a aceleração é constante, o que não leva em conta a restrição geométrica do comprimento fixo da corda. Para incorporar essa restrição, devemos considerar que o comprimento total da corda
permanece constante, ou seja:
onde
é o comprimento da corda na parte horizontal do tubo.
Passo 7
Diferenciando ambos os lados dessa equação em relação ao tempo
, obtemos:
E diferenciando novamente, temos:
Isso implica que:
Agora, voltando à equação da força:
Substituindo na restrição de acelerações:
Mas como a aceleração horizontal está relacionada à aceleração vertical pela razão dos comprimentos, podemos concluir que:
Resposta
A equação do movimento é: