Três campos vetoriais são dados por:
& P=2 i-k, & Q=2 i-j+2 k, & R=2 i-3 j+k
Determine Q cdot(R times P).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores:
P = 2 i - k, Q = 2 i - j + 2 k, R = 2 i - 3 j + k
O que a questão pede é para calcular Q cdot (R times P). Isso envolve duas operações de vetores: o produto vetorial (ou cruz) e o produto escalar (ou ponto). Então, vamos precisar saber como fazer essas duas operações para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial R times P. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois originais. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula usando determinantes:
R times P = i & j & k 2 & -3 & 1 2 & 0 & -1
Isso significa que:
R times P = i cdot [(-3)(-1) - (1)(0)] - j cdot [(2)(-1) - (1)(2)] + k cdot [(2)(0) - (-3)(2)]
Simplificando cada componente:
  • Componente i:
    (-3)(-1) - (1)(0) = 3 - 0 = 3
  • Componente j:
    (2)(-1) - (1)(2) = -2 - 2 = -4
    Mas lembre-se do sinal negativo na frente do j, então fica +4.
  • Componente k:
    (2)(0) - (-3)(2) = 0 + 6 = 6
Então,
R times P = 3i + 4j + 6k

Passo 3

Agora que temos R times P, vamos calcular o produto escalar Q cdot (R times P). O produto escalar entre dois vetores resulta em um número (escalar) e é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando os resultados.
Temos:
Q = 2 i - j + 2 k
E
R times P = 3i + 4j + 6k
Então,
Q cdot (R times P) = (2)(3) + (-1)(4) + (2)(6)
Calculando cada termo:
  • 2 times 3 = 6
  • -1 times 4 = -4
  • 2 times 6 = 12
Somando tudo:
6 - 4 + 12 = 14

Resposta

Q cdot (R times P) = 14

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