Três capacitores de capacitâncias: C1=2 p F, C2>C3 são ligados primeiramente em paralelo com a capacitância equivalente Cpar=11 p F e depois em série com a capacitância equivalente Cser=1 p F. Calcule os valores de C2 e C3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três capacitores: $ C_{1} = 2,pF $, $ C_{2} $ e $ C_{3} $, sendo que $ C_{2} > C_{3} $. Eles são ligados primeiro em paralelo, resultando em uma capacitância equivalente de $ C_{par} = 11,pF $, e depois essa combinação é ligada em série, totalizando uma capacitância equivalente de $ C_{ser} = 1,pF $. A gente precisa descobrir os valores de $ C_{2} $ e $ C_{3} $. Para isso, vamos usar as fórmulas de capacitores em paralelo e em série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a capacitância equivalente quando os capacitores estão em paralelo. Quando estão em paralelo, a capacitância total é a soma das capacitâncias individuais:
Cpar = C1 + C2 + C3
Sabemos que $ C_{par} = 11,pF $ e $ C_{1} = 2,pF $, então podemos escrever:
Cpar = 11,pF

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação para relacionar $ C_{2} $ e $ C_{3} $:
C2
C3
Então, temos que a soma de $ C_{2} $ e $ C_{3} $ é $ 9,pF $.

Passo 4

Em seguida, vamos considerar a combinação desses três capacitores ligados em paralelo sendo conectados em série, resultando em $ C_{ser} = 1,pF $. A fórmula para capacitores em série é:
Cser = 1,pF
Mas, como estamos ligando apenas a combinação em paralelo em série, a capacitância equivalente fica:
1Cser = 1Cpar + 1Csercreto
Na verdade, como a configuração é apenas os três capacitores em paralelo depois em série, podemos usar a fórmula para três capacitores em série:
1Cser = 1Cpar + 1Cser
Sabemos que $ C_{ser} = 1,pF $, então:
1Cser = 1C1 + 1C2 + 1C3

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
1 = 0.5 + 1C2 + 1C3
1C2 + 1C3 = 1 - 0.5
1C2 + 1C3 = 0.5
Então, temos duas equações:
  1. $ C_{2} + C_{3} = 9 $
  2. $ \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} = 0.5 $

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Vamos expressar $ C_{3} $ em termos de $ C_{2} $ na primeira equação:
C3
Agora, substituímos $ C_{3} $ na segunda equação:
C2

Passo 7

Para resolver essa equação, vamos multiplicar ambos os lados por $ C_{2}(9 - C_{2}) $ para eliminar os denominadores:
C2(9 - C2)
(9 - C2) + C2 = 0.5 times C2(9 - C2)

Passo 8

Distribuindo o 0.5:
9 = 4.5C2 - 0.5C2^2
Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
0.5C2^2 - 4.5C2 + 9 = 0
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o decimal:
C2^2 - 9C2 + 18 = 0

Passo 9

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ C_{2}^2 - 9C_{2} + 18 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
C2^2 - 9C2 + 18 = 0
C2 = 9 pm raiz81 - 722
C2 = 9 pm raiz92
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ C_{2} = \frac{12}{2} = 6,pF $
  2. $ C_{2} = \frac{6}{2} = 3,pF $

Passo 10

Como $ C_{2} > C_{3} $ e $ C_{2} + C_{3} = 9,pF $, descartamos a solução $ C_{2} = 3,pF $ porque não atenderia a condição $ C_{2} > C_{3} $. Portanto, $ C_{2} = 6,pF $.
Agora, encontramos $ C_{3} $:
C2 > C3

Resposta

Os valores dos capacitores são $ C_{2} = 6,pF $ e $ C_{3} = 3,pF $.

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