Três capacitores de capacitâncias:
são ligados primeiramente em paralelo com a capacitância equivalente
e depois em série com a capacitância equivalente
. Calcule os valores de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três capacitores: $ C_{1} = 2,pF $, $ C_{2} $ e $ C_{3} $, sendo que $ C_{2} > C_{3} $. Eles são ligados primeiro em paralelo, resultando em uma capacitância equivalente de $ C_{par} = 11,pF $, e depois essa combinação é ligada em série, totalizando uma capacitância equivalente de $ C_{ser} = 1,pF $. A gente precisa descobrir os valores de $ C_{2} $ e $ C_{3} $. Para isso, vamos usar as fórmulas de capacitores em paralelo e em série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a capacitância equivalente quando os capacitores estão em paralelo. Quando estão em paralelo, a capacitância total é a soma das capacitâncias individuais:
Sabemos que $ C_{par} = 11,pF $ e $ C_{1} = 2,pF $, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa equação para relacionar $ C_{2} $ e $ C_{3} $:
Então, temos que a soma de $ C_{2} $ e $ C_{3} $ é $ 9,pF $.
Passo 4
Em seguida, vamos considerar a combinação desses três capacitores ligados em paralelo sendo conectados em série, resultando em $ C_{ser} = 1,pF $. A fórmula para capacitores em série é:
Mas, como estamos ligando apenas a combinação em paralelo em série, a capacitância equivalente fica:
Na verdade, como a configuração é apenas os três capacitores em paralelo depois em série, podemos usar a fórmula para três capacitores em série:
Sabemos que $ C_{ser} = 1,pF $, então:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Então, temos duas equações:
- $ C_{2} + C_{3} = 9 $
- $ \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} = 0.5 $
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Vamos expressar $ C_{3} $ em termos de $ C_{2} $ na primeira equação:
Agora, substituímos $ C_{3} $ na segunda equação:
Passo 7
Para resolver essa equação, vamos multiplicar ambos os lados por $ C_{2}(9 - C_{2}) $ para eliminar os denominadores:
Passo 8
Distribuindo o 0.5:
Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o decimal:
Passo 9
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ C_{2}^2 - 9C_{2} + 18 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
- $ C_{2} = \frac{12}{2} = 6,pF $
- $ C_{2} = \frac{6}{2} = 3,pF $
Passo 10
Como $ C_{2} > C_{3} $ e $ C_{2} + C_{3} = 9,pF $, descartamos a solução $ C_{2} = 3,pF $ porque não atenderia a condição $ C_{2} > C_{3} $. Portanto, $ C_{2} = 6,pF $.
Agora, encontramos $ C_{3} $:
Resposta
Os valores dos capacitores são $ C_{2} = 6,pF $ e $ C_{3} = 3,pF $.