As placas um capacitor plano têm a área S, o dielétrico é o ar e a distância entre as placas é d. Como se modifica a capacitância do capacitor se entre as placas é introduzida uma lâmina de metal paralelamente com as placas, de espessura h ? Como depende a capacitância da posição da lâmina entre as placas? Obtenha as fórmulas matemáticas discute-as.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre um capacitor plano, que é um componente eletrônico formado por duas placas paralelas com área $ S $ cada. O material entre as placas é ar, e a distância entre elas é $ d $. A pergunta quer saber como a capacitância desse capacitor muda se colocarmos uma lâmina de metal de espessura $ h $ entre as placas, mantendo-a paralela. Além disso, queremos entender como a posição dessa lâmina afeta a capacitância. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula da capacitância de um capacitor plano e como ela se modifica com a introdução de uma lâmina metálica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da capacitância de um capacitor plano sem nenhum metal entre as placas. A capacitância $ C $ é dada por:
C
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, $ S $ é a área das placas e $ d $ é a distância entre elas. Essa fórmula nos diz que a capacitância aumenta com a área das placas e diminui com a distância entre elas.

Passo 3

Agora, vamos introduzir uma lâmina de metal entre as placas. Essa lâmina tem espessura $ h $ e fica paralela às placas. A presença do metal muda o comportamento do campo elétrico entre as placas e, consequentemente, a capacitância.
Imagine que a lâmina divide a distância total $ d $ em duas partes: uma distância $ a $ entre a primeira placa e a lâmina, e uma distância $ b $ entre a lâmina e a segunda placa. Assim, temos:
h
Como o metal é um bom condutor, o potencial da lâmina é constante, e podemos tratar o capacitor como dois capacitores em série: um de distância $ a $ e outro de distância $ b $.

Passo 4

A capacitância de cada um desses capacitores será:
C1 = varepsilon0 Sa
C2 = varepsilon0 Sb
Como estão em série, a capacitância total $ C_{total} $ é dada por:
Ctotal

Passo 5

Substituindo $ a + b = d - h $ na equação acima:
a + b = d - h
Invertendo para encontrar $ C_{total} $:
1Ctotal = d - hvarepsilon0 S

Passo 6

Observamos que a capacitância aumentou, pois $ d - h < d $, e a capacitância é inversamente proporcional à distância. Agora, vamos ver como a posição da lâmina afeta a capacitância. Se movemos a lâmina de uma posição próxima a uma das placas para outra, introduzindo diferentes valores de $ a $ e $ b $, mantendo $ a + b = d - h $, a capacitância total permanece:
d - h < d
Isso mostra que a capacitância não depende da posição da lâmina, desde que a soma $ a + b $ seja constante.

Resposta

A capacitância do capacitor com a lâmina de metal introduzida é dada por:
Ctotal = varepsilon0 Sd - h
Além disso, essa capacitância não depende da posição da lâmina entre as placas, pois a capacitância total depende apenas da distância efetiva $ d - h $ entre as placas, independentemente de onde a lâmina está posicionada.

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