Um capacitor plano tem um dielétrico cuja permissividade varia com a diferença de potencial elétrico entre as placas do capacitor conforme a fórmula
onde
. Um segundo capacitor idêntico, mas com vácuo entre as placas é carregado ao potencial
e ligado em paralelo com o primeiro capacitor. Qual é a diferença de potencial em cada um dos capacitores?
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos dois capacitores idênticos. O primeiro possui um dielétrico com permissividade que varia conforme a diferença de potencial elétrico entre suas placas, dada por
, onde
. O segundo capacitor é igual, mas tem vácuo entre as placas, ou seja, sua permissividade relativa é
. Inicialmente, o capacitor com vácuo está carregado a um potencial
. Em seguida, os dois capacitores são ligados em paralelo. Nosso objetivo é encontrar a nova diferença de potencial
em cada um dos capacitores após a ligação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando dois capacitores são ligados em paralelo, a tensão (diferença de potencial) em ambos os capacitores será a mesma no equilíbrio. Além disso, a carga total se conserva. Precisamos calcular a capacitância de cada capacitor e depois usar a conservação da carga para encontrar a nova tensão
.
Passo 3
A capacitância
de um capacitor plano é dada pela fórmula:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é a permissividade relativa do dielétrico, -
é a área das placas, -
é a distância entre as placas.
Para o primeiro capacitor, a permissividade relativa depende de
:
Então, a capacitância do primeiro capacitor é:
onde $k = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \times 0,1 $.
Para o segundo capacitor, com vácuo:
Portanto, sua capacitância é constante:
onde
é uma constante.
Como os capacitores são idênticos, podemos relacionar
e
:
Passo 4
Antes da ligação, apenas o segundo capacitor está carregado com uma carga
:
Após a ligação, as cargas nos capacitores devem se distribuir de forma que a tensão seja a mesma (
), e a carga total seja a soma das cargas individuais:
Igualando à carga inicial:
Passo 5
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
Resposta
A diferença de potencial em cada um dos capacitores após a ligação é aproximadamente
.