Um capacitor plano tem um dielétrico cuja permissividade varia com a diferença de potencial elétrico entre as placas do capacitor conforme a fórmula varepsilonr=alpha V onde alpha=0,1 V^-1. Um segundo capacitor idêntico, mas com vácuo entre as placas é carregado ao potencial V0=60 V e ligado em paralelo com o primeiro capacitor. Qual é a diferença de potencial em cada um dos capacitores?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos dois capacitores idênticos. O primeiro possui um dielétrico com permissividade que varia conforme a diferença de potencial elétrico entre suas placas, dada por varepsilonr = alpha V, onde alpha = 0,1 , V^-1. O segundo capacitor é igual, mas tem vácuo entre as placas, ou seja, sua permissividade relativa é varepsilonr = 1. Inicialmente, o capacitor com vácuo está carregado a um potencial V0 = 60 , V. Em seguida, os dois capacitores são ligados em paralelo. Nosso objetivo é encontrar a nova diferença de potencial V em cada um dos capacitores após a ligação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando dois capacitores são ligados em paralelo, a tensão (diferença de potencial) em ambos os capacitores será a mesma no equilíbrio. Além disso, a carga total se conserva. Precisamos calcular a capacitância de cada capacitor e depois usar a conservação da carga para encontrar a nova tensão V.

Passo 3

A capacitância C de um capacitor plano é dada pela fórmula:
C = varepsilon0 varepsilonr Ad
onde:
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo,
  • varepsilonr é a permissividade relativa do dielétrico,
  • A é a área das placas,
  • d é a distância entre as placas.
Para o primeiro capacitor, a permissividade relativa depende de V:
varepsilonr1 = alpha V
Então, a capacitância do primeiro capacitor é:
C1 = varepsilon0 alpha V Ad = k V
onde $k = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \times 0,1 $.
Para o segundo capacitor, com vácuo:
k = varepsilon0 Ad times 0,1
Portanto, sua capacitância é constante:
varepsilonr2 = 1
onde C2 = varepsilon0 Ad = k' é uma constante.
Como os capacitores são idênticos, podemos relacionar k' e k':
k

Passo 4

Antes da ligação, apenas o segundo capacitor está carregado com uma carga Q0:
Q0 = C2 V0 = k' times 60
Após a ligação, as cargas nos capacitores devem se distribuir de forma que a tensão seja a mesma ( V), e a carga total seja a soma das cargas individuais:
Qtotal = Q1 + Q2 = C1 V + C2 V = (0,1 k' V) + (k' V) = 1,1 k' V
Igualando à carga inicial:
1,1 k' V = k' times 60

Passo 5

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por k':
1,1 V = 60
Resolvendo para V:
V = 601,1 approx 54,55 , V

Resposta

A diferença de potencial em cada um dos capacitores após a ligação é aproximadamente 54,55 , V.

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