Se
, calcule a energia dentro da região definida por
,
. Assumir
Passo 1
O enunciado dá o potencial escalar em coordenadas cilíndricas
e pede a energia elétrica dentro da região limitada por
assumindo
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Potencial:
. - Região de integração:
, , . - Permitividade:
.
A tarefa: calcular a energia eletrostática total armazenada dentro desse volume.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (aquela que diz quanta energia tem no campo elétrico): a densidade de energia elétrica é
. Portanto a energia total é
Aqui
. Vou então calcular
a partir de
e depois integrar
no volume dado.
Passo 3
Gradiente em coordenadas cilíndricas: para uma função
,
Explicando rapidinho: o termo
no componente
aparece porque
é um ângulo (comprimento arco
). Não precisa decorar sem entender — é a forma padrão do gradiente em cilíndricas.
Passo 4
Calculo as derivadas parciais de
:
Logo o campo elétrico
tem componentes
Sempre verifique o sinal:
inverte o sinal das derivadas.
Passo 5
Calculo
:
Expandindo:
Passo 6
Montamos a integral da energia em coordenadas cilíndricas, com elemento de volume
:
Multiplicando pelo
do elemento de volume, o integrando fica
Passo 7
A integral separa-se em fatores
,
e
(pois o integrando é produto de funções que dependem isoladamente de cada variável). Escrevo a energia como soma de três integrais:
onde
Agora avalio cada uma das integrais simples:
- Integral em
:
- Integrais em
:
- Integrais angulares (uso identidades trigonométricas):
Passo 8
Substituo os resultados nos
:
-
. Calculo intermediário . Logo
-
. Calculo . Logo
-
. Calculo . Logo
Somando
:
Agrupando termos em
e
e fazendo as contas dá (apenas desenvolvendo as constantes):
Portanto a energia é
Multiplicando o
obtemos a forma final fechada: