Três cargas, duas positivas e uma negativa, são colocadas nos vértices de um quadrado de 6 cm de lado. As duas cargas positivas são colocadas em dois vértices opostos do quadrado e a carga negativa é colocada no outro vértice. Determine a força resultante sobre uma quarta carga positiva colocada no quarto vértice deste quadrado. Dado: q1=4 cdot 10^-9 C, q2=4 cdot 10^-9 C, q3=-4 cdot 10^-9 C, q4=4 cdot 10^-9 C.

Passo 1

O enunciado coloca três cargas pontuais em três vértices de um quadrado de lado 6 cm e pede a força resultante sobre uma quarta carga positiva q4 colocada no vértice restante. O conteúdo é a Lei de Coulomb em sua forma vetorial e soma de vetores. Vamos precisar de
k=9times10^9 Ncdot m^2/C^2, a=6 cm=0,06 m
e das cargas
q1=4times10^-9,C, q2=4times10^-9,C, q3=-4times10^-9,C, q4=4times10^-9,C

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos no plano do quadrado: seja
A=(0,0), B=(a,0), C=(a,a), D=(0,a)
Colocamos q1 em A, q2 em C, q3 em B e q4 em D. O vetor força sobre q4 oriundo de cada carga qi é
vec F4i = k,q4,qi|vec ri-vec r4|^2;hat u4i,
onde hat u4i aponta de q4 para qi se a força for atrativa ( qiq4<0) ou de qi para q4 se for repulsiva ( qiq4>0).

Passo 3

Força de q1 em q4: a distância é a ao longo do eixo y. Como q1q4>0, é repulsiva e empurra q4 no sentido positivo de y.
|vec F41|=k,q4q1a^2 =9times10^9,(4times10^-9)^2(0,06)^2 =4,0times10^-5 N
Logo
vec F41=(0,;4,0times10^-5) N

Passo 4

Força de q2 em q4: a distância é a ao longo do eixo x. Como q2q4>0, é repulsiva e empurra q4 no sentido negativo de x.
|vec F42|=k,q4q2a^2 =4,0times10^-5 N,
vec F42=(-4,0times10^-5,;0) N

Passo 5

Força de q3 em q4: a distância é raiz2,a na direção de (1,-1). Como q3q4<0, há atração, vindo de D para B.
|vec F43|=k,|q4q3|(raiz2,a)^2 =k,q^22,a^2 =12,4,0times10^-5 =2,0times10^-5 N
O versor nessa direção é 1raiz2(1,-1), então
vec F43 =2,0times10^-5,1raiz2,(1,-1) approx(1,41times10^-5,,-1,41times10^-5) N

Passo 6

Somamos componente a componente:
Fx=-4,0times10^-5+1,41times10^-5 =-2,59times10^-5 N,
Fy=4,0times10^-5-1,41times10^-5 =2,59times10^-5 N
A resultante é
vec Fres =(-2,59,hatimath+2,59,hatjmath)times10^-5 N
Seu módulo e direção (ângulo theta com o eixo +x) são
|vec F|=raiz(-2,59)^2+(2,59)^2times10^-5 approx3,66times10^-5 N,
theta=arctan!l(tfrac2,59-2,59r) =135^circ(quadrante II)

Resposta

vec Fres =(-2,59,hatimath+2,59,hatjmath)times10^-5 N, |vec F|=3,66times10^-5 N, theta=135^circ

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