- Considere a correção relativistica
para a energia cinética de um elétron. (a) Mostre que a correção de primeira ordem em teoria de perturbação para energia do n-ésimo estado deste elétron em um átomo de hidrogênio pode ser obtida através de
. Use o teorema do virial (ver identidades acima) para mostrar que
. (c) Use a relação de Feynman-Hellman (ver identidades) com
para encontrar
(d) Substitua esses valores médios na expressão total para encontrar
(d) Substitua esses valores médios na expressão total para encontrar
Passo 1
O enunciado pede a correção relativística de primeira ordem para o elétron no átomo de hidrogênio usando o termo de perturbação
Passo 2
Para achar a energia de primeira ordem usamos
Como
, temos
Tomando valor médio em autestados de
, ficamos com
logo
Passo 3
Pelo teorema do virial para
(grau
), vale
Como
, resolvendo obtemos
Passo 4
Aplicando Feynman–Hellmann ao Hamiltoniano
temos
Para
e usando a forma de
, obtém-se
Passo 5
Substituindo
e
em
e usando
, chegamos a
Resposta
E_{n}{(1)}=-\frac{E_{n}{2}}{2mc^{2}}\Bigl[\frac{4n}{1+1/2}-3\Bigr]