1. Considere a correção relativistica -p^4 / 8 m^3 c^2 para a energia cinética de um elétron. (a) Mostre que a correção de primeira ordem em teoria de perturbação para energia do n-ésimo estado deste elétron em um átomo de hidrogênio pode ser obtida através de En^(1)=-12 m c^2(En^2-2 Enlang<= Vrang<=+lang<= V^2rang<=). Use o teorema do virial (ver identidades acima) para mostrar que
    lang<= Vrang<==2 En. (c) Use a relação de Feynman-Hellman (ver identidades) com lambda=1 para encontrar lang<= V^2rang<==4 Ry^2(1+1 / 2) n^3
    (d) Substitua esses valores médios na expressão total para encontrar En^(1)=-En^22 m c^2[4 n(1+1 / 2)-3]

Passo 1

O enunciado pede a correção relativística de primeira ordem para o elétron no átomo de hidrogênio usando o termo de perturbação
-p^4/(8,m^3c^2). O conteúdo é teoria de perturbação dependente de operadores cinéticos e potencial coulômbico. Vamos precisar usar a identidade p^2=2m(H0-V), o teorema do virial para o potencial Vpropto1/r e o teorema de Feynman–Hellmann para obter <V> e <V^2>.

Passo 2

Para achar a energia de primeira ordem usamos
En^(1)=lang<= nlvert H'rvert nrang<= = -18m^3c^2lang<= p^4rang<=
Como p^2=2m(H0-V), temos
p^4=[2m(H0-V)]^2=4m^2(H0^2-H0V-VH0+V^2)
Tomando valor médio em autestados de H0, ficamos com
lang<= p^4rang<==4m^2(En^2-2Enlang<= Vrang<=+lang<= V^2rang<=),
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En^(1)=-12mc^2l(En^2-2Enlang<= Vrang<=+lang<= V^2rang<=r)

Passo 3

Pelo teorema do virial para Vpropto1/r (grau k=-1), vale
2lang<= Trang<= = -lang<= Vrang<=, H0=T+V=En
Como En=lang<= Trang<=+lang<= Vrang<=, resolvendo obtemos
lang<= Vrang<==2En

Passo 4

Aplicando Feynman–Hellmann ao Hamiltoniano
H(alpha)=p^22m-alphae^24piepsilon0,r,
temos
partial Enpartialalpha=llang<=partial Hpartialalpharrang<= =llang<= -e^24piepsilon0,rrrang<==lang<= Vrang<=/alpha
Para alpha=1 e usando a forma de En=-Ry/n^2, obtém-se
lang<= V^2rang<==4Ry^2(1+1/2),n^3

Passo 5

Substituindo lang<= Vrang<==2En e lang<= V^2rang<==4Ry^2/((1+1/2)n^3) em
En^(1)=-12mc^2l(En^2-2Enlang<= Vrang<=+lang<= V^2rang<=r),
e usando En=-Ry/n^2, chegamos a
En^(1)=-En^22mc^2l[4n1+1/2-3r]

Resposta

E_{n}{(1)}=-\frac{E_{n}{2}}{2mc^{2}}\Bigl[\frac{4n}{1+1/2}-3\Bigr]

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