Três cargas elétricas puntiformes estão distribuidas no plano cartesiano ( x , \mathrm{y}, \mathrm{z} ). As cargas e suas respectivas posições são: \mathrm{q}_{\mathrm{A}}=-\mathrm{q} no ponto \mathrm{A}(1,0,0), \mathrm{q}_{\mathrm{B}}=+2 \mathrm{q} no ponto \mathrm{B}(0,0,0), \mathrm{q}_{\mathrm{c}}=+3 \mathrm{q} no ponto \mathrm{C}(0,1,0), onde as coordenadas estão em metros (m).
Calcule a força elétrica total \mathbf{F}_{\mathrm{A}} (módulo, direção e sentido) que atua sobre a carga localizada no ponto A , devido às cargas em B e C . (1.0 Ponto)

Passo 1

O enunciado pede a força elétrica total que age sobre a carga em A devido às cargas em B e C. Informações dadas:
  • Cargas:
    • q_A=-q localizada em A(1,0,0).
    • q_B=+2q localizada em B(0,0,0).
    • q_C=+3q localizada em C(0,1,0).
  • Coordenadas em metros.
    O que é pedido explicitamente: calcular a força elétrica total \mathbf{F}_A sobre a carga em A, dando módulo, direção e sentido.

Passo 2

Lembrete físico e fórmula vetorial (a aula rapidinha): a força elétrica entre duas cargas pontuais é dada pela lei de Coulomb. Para a força sobre A devido a uma carga localizada em i (com posição \mathbf{r}_i) vale a forma vetorial conveniente:
\mathbf{F}_{A\leftarrow i}=k\; q_A q_i\;\frac{\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_i}{\lVert \mathbf{r}_A-\mathbf{r}_i\rVert^{3}},
onde:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática;
  • \mathbf{r}_A e \mathbf{r}_i são vetores posição de A e de i;
  • \mathbf{r}_A-\mathbf{r}_i é o vetor que aponta de i para A;
  • o fator \dfrac{\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_i}{\lVert \mathbf{r}_A-\mathbf{r}_i\rVert^{3}} dá direção e dependência com a distância.
    Essa fórmula já trata o sinal (produto das cargas): se q_A q_i>0 o vetor aponta de i para A (repulsão), se q_A q_i<0 aponta de A para i (atração).

Passo 3

Escrever vetores posição e deslocamentos (peguei as coordenadas do enunciado):
\mathbf{r}_A=(1,0,0),\qquad \mathbf{r}_B=(0,0,0),\qquad \mathbf{r}_C=(0,1,0).
Vetores \mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B e \mathbf{r}_A-\mathbf{r}_C e suas normas:
\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B=(1,0,0),\qquad \lVert \mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B\rVert=1.
\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_C=(1,-1,0),\qquad \lVert \mathbf{r}_A-\mathbf{r}_C\rVert=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
Também será útil \lVert \mathbf{r}_A-\mathbf{r}_C\rVert^{3}=(\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular as forças individuais com a fórmula da Passo 2.
Força sobre A devido a B:
\mathbf{F}_{A\leftarrow B}=k\; q_A q_B\;\frac{\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B}{\lVert \mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B\rVert^{3}} = k\;(-q)\;(2q)\;\frac{(1,0,0)}{1^{3}}.
Logo
\mathbf{F}_{A\leftarrow B}= -2kq^{2}\,(1,0,0)=\bigl(-2kq^{2},\,0,\,0\bigr).
Interpretação rápida: q_A é negativa e q_B positiva, elas se atraem, então B puxa A para a esquerda (direção -\hat{\mathbf{x}}) — o sinal negativo no componente x confirma.
Força sobre A devido a C:
\mathbf{F}_{A\leftarrow C}=k\; q_A q_C\;\frac{\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_C}{\lVert \mathbf{r}_A-\mathbf{r}_C\rVert^{3}} = k\;(-q)\;(3q)\;\frac{(1,-1,0)}{2\sqrt{2}}.
Assim
\mathbf{F}_{A\leftarrow C}= -\frac{3kq^{2}}{2\sqrt{2}}\,(1,-1,0) =\left(-\frac{3kq^{2}}{2\sqrt{2}},\;\frac{3kq^{2}}{2\sqrt{2}},\;0\right).
Interpretação: C puxa A em direção a C (para cima e para a esquerda), e o sinal reflete isso nos componentes.

Passo 5

Somar as componentes para obter a força total:
\mathbf{F}_A=\mathbf{F}_{A\leftarrow B}+\mathbf{F}_{A\leftarrow C} =\left(-2kq^{2}-\frac{3kq^{2}}{2\sqrt{2}},\;\;\frac{3kq^{2}}{2\sqrt{2}},\;0\right).
Fatorando kq^{2}:
\boxed{\mathbf{F}_A = kq^{2}\left(-2-\frac{3}{2\sqrt{2}},\;\;\frac{3}{2\sqrt{2}},\;0\right).}
Esse é o vetor resultado escrito de forma exata.

Passo 6

Calcular o módulo (o jeito “sem calculadora”: transformar em expressão simples e depois aproximar se quiser). O módulo é
\lVert \mathbf{F}_A\rVert = kq^{2}\sqrt{\Bigl(2+\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\Bigr)^{2}+\Bigl(\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\Bigr)^{2}}.
Podemos simplificar um pouco algebricamente: seja a=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}. Então \lVert \mathbf{F}_A\rVert = kq^{2}\sqrt{(2+a)^{2}+a^{2}}=kq^{2}\sqrt{4+4a+2a^{2}}.
Substituindo a^{2}=\dfrac{9}{8} obtém-se
\lVert \mathbf{F}_A\rVert = kq^{2}\sqrt{\dfrac{25}{4}+\dfrac{6}{\sqrt{2}}}\qquad\text{(expressão exata alternativa).}ã
Se quiser uma aproximação numérica (útil para intuir a força), calculando decimalmente:
a=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\approx 1,06066,
\lVert \mathbf{F}_A\rVert \approx kq^{2}\sqrt{(2+1,06066)^{2}+(1,06066)^{2}} \approx kq^{2}\cdot 3,240\approx 3,240\;kq^{2}.

Passo 7

Direção (vetor unitário) e ângulo:
  • Vetor unitário na direção da força:
\hat{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{F}_A}{\lVert \mathbf{F}_A\rVert }=\frac{1}{\sqrt{\bigl(2+\tfrac{3}{2\sqrt{2}}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{3}{2\sqrt{2}}\bigr)^{2}}}\left(-2-\frac{3}{2\sqrt{2}},\;\frac{3}{2\sqrt{2}},\;0\right).
  • Aproximação numérica do vetor unitário:
\hat{\mathbf{u}}\approx(-0,945,\;0,327,\;0).
  • Ângulo medido a partir do eixo +x (usando arctan2 para levar em conta o quadrante): como o componente x é negativo e y positivo, a direção está no segundo quadrante. Numericamente,
\theta=\operatorname{atan2}\!\left(0,327,\,-0,945\right)\approx 160,9^\circ\approx 2,81\\ \text{rad}.

Passo 8

Sentido físico (interpretação final): a força resultante sobre A aponta para a esquerda e um pouco para cima (ou seja, no sentido negativo de x e positivo de y), porque as duas cargas positivas em B e C atraem a carga negativa em A. Portanto a força é dirigida para cima-esquerda (2.º quadrante).

Resposta

\mathbf{F}_A = kq^{2}\displaystyle\left(-2-\frac{3}{2\sqrt{2}},\;\frac{3}{2\sqrt{2}},\;0\right)
\lVert \mathbf{F}_A\rVert = kq^{2}\sqrt{\Bigl(2+\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\Bigr)^{2}+\Bigl(\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\Bigr)^{2}}\approx 3,240\;kq^{2}
Direção (vetor unitário): \displaystyle \hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{\sqrt{\bigl(2+\tfrac{3}{2\sqrt{2}}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{3}{2\sqrt{2}}\bigr)^{2}}}\!\left(-2-\frac{3}{2\sqrt{2}},\;\frac{3}{2\sqrt{2}},\;0\right)\approx(-0,945,\;0,327,\;0)
Sentido: aponta para a esquerda e para cima (segundo quadrante), formando aproximadamente \theta\approx160,9^\circ com o eixo +x.

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