Duas pequenas esferas condutoras idênticas, A e B , estão separadas por uma distância de 30 cm no vácuo. A esfera A possui carga q_{A}=+6 \mu C e a esfera B possui carga q_{B}=-4 \mu C. ( \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} C^{2} / N m^{2} )
a) Calcule o módulo da força eletrostática entre elas e classifique-a como atrativa ou repulsiva.
b) Se as esferas forem colocadas em contato e depois separadas novamente à mesma distância de 30 cm , qual será a nova força entre elas? Classifique-a como atrativa ou repulsiva.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Dados numéricos:
    • q_{A}=+6\\ \mu\mathrm{C}.
    • q_{B}=-4\\ \mu\mathrm{C}.
    • distância entre os centros: r=30\\ \mathrm{cm}=0,30\\ \mathrm{m}.
    • permissividade do vácuo: \varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\;m^{2})}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular o módulo da força eletrostática entre as esferas A e B e dizer se é atrativa ou repulsiva.
    (b) Se as esferas forem tocadas (colocadas em contato) e depois separadas novamente à mesma distância de 0,30\\ \mathrm{m}, calcular a nova força entre elas e dizer se é atrativa ou repulsiva.

Passo 2

Revisão da fórmula que vamos usar (aulas rápidas): a lei de Coulomb para o módulo da força entre duas cargas puntiformes (ou esferas condutoras pequenas separadas por distância grande em relação aos seus raios) é
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^{2}},
onde:
  • F é o módulo da força elétrica (em newtons, \mathrm{N});
  • k é a constante eletrostática do meio, no vácuo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}};
  • q_1 e q_2 são as cargas (em coulombs, \mathrm{C});
  • r é a distância entre as cargas (em metros, \mathrm{m}).
Vamos calcular k usando o valor de \varepsilon_{0} fornecido:
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=\frac{1}{4\pi\cdot 8,85\times10^{-12}}\approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\;m^{2}/C^{2}}.
Explicação curta: k é só uma constante que transforma unidades e mede a intensidade da interação elétrica no vácuo; é comum usar k\approx 8{,}99\times10^{9}.

Passo 3

Parte (a) — preparação dos valores e cálculo da força:
  1. Converter microcoulombs para coulombs:
    • q_A=+6\\ \mu\mathrm{C}=+6\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
    • q_B=-4\\ \mu\mathrm{C}=-4\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  2. Produto das magnitudes das cargas:
    |q_A q_B| = (6\times10^{-6})\cdot(4\times10^{-6}) = 24\times10^{-12}=2,4\times10^{-11}\\ \mathrm{C^{2}}.
  3. Aplicar a lei de Coulomb:
    F = k\,\frac{|q_A q_B|}{r^{2}}
    Substituindo os números:
    F \approx (8{,}99\times10^{9})\cdot\frac{2{,}4\times10^{-11}}{(0{,}30)^{2}}.
    Calcule passo a passo:
    • Numerador: 8{,}99\times10^{9}\cdot 2{,}4\times10^{-11}=8{,}99\cdot2{,}4\times10^{-2}\approx 21{,}576\times10^{-2}=0,21576.
    • Denominador: (0{,}30)^{2}=0{,}09.
    • Dividindo: F\approx 0,21576/0{,}09\approx 2{,}3973\\ \mathrm{N}.
  4. Arredondando razoavelmente (duas casas significativas a mais que os dados): F\approx 2{,}40\\ \mathrm{N}.
  5. Sinal / natureza da força: as cargas têm sinais opostos ( + e -), logo a interação é atrativa (força que puxa uma esfera em direção à outra). A lei de Coulomb usada (com o valor absoluto) dá o módulo; o sinal de atração vem do fato de q_A q_B<0.

Passo 4

Parte (b) — o que acontece quando as esferas são colocadas em contato:
  • Conceito físico: duas esferas condutoras idênticas colocadas em contato trocam cargas até que fiquem com o mesmo potencial; para esferas iguais isso equivale a dividir a carga total igualmente entre as duas. Logo, cada esfera ficará com a metade da carga total inicial.
  • Carga total inicial: Q_{\text{total}}=q_A+q_B=6\times10^{-6}+(-4\times10^{-6})=2\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Carga final em cada esfera (após separá-las novamente): q'=\frac{Q_{\text{total}}}{2}=\frac{2\times10^{-6}}{2}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=1\\ \mu\mathrm{C}.Observação: ambas ficarão com carga positiva +1\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 5

Parte (b) — calcular a nova força quando separadas a r=0{,}30\\ \mathrm{m}:
  1. Agora q_1=q_2=q'=1\times10^{-6}\\ \mathrm{C}. Produto:
    |q' q'|=(1\times10^{-6})^{2}=1\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}}.
  2. Aplicar Coulomb:
    F' = k\,\frac{|q' q'|}{r^{2}}=(8{,}99\times10^{9})\cdot\frac{1\times10^{-12}}{(0{,}30)^{2}}.
    Calcule:
    • Numerador: 8{,}99\times10^{9}\cdot1\times10^{-12}=8{,}99\times10^{-3}=0{,}00899.
    • Denominador: 0{,}09.
    • Divisão: F'\approx 0{,}00899/0{,}09\approx 0{,}0998889\\ \mathrm{N}.
  3. Arredondando: F'\approx 0{,}10\\ \mathrm{N}.
  4. Sinal / natureza: agora ambas as cargas são positivas, logo a força é repulsiva (elas se repelem).

Resposta

(a) F\approx 2{,}40\\ \mathrm{N} (atrativa)
(b) F'\approx 0{,}10\\ \mathrm{N} (repulsiva)

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