• Três cargas pontuais estão dispostas nos vértices de um quadrado de lado L=2,0 \mathrm{~m}. A carga Q_{1}=+5,0 \mathrm{nC} está na origem, Q_{2}=-8,0 \mathrm{nC} está em (2,0,0) e Q_{3}=+6,0 \mathrm{nC} está em (0,2,0). Encontre a força elétrica total, \mathbf{F} sobre uma quarta carga Q_{4}=-4,0 \mathrm{nC} posicionada no vértice restante, em ( 2,2,0 ).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a força elétrica total \mathbf{F} sobre a carga Q_{4}=-4,0\\ \mathrm{nC} situada em (2,2,0), devido às três cargas pontuais colocadas nos outros vértices do quadrado de lado L=2,0\\ \mathrm{m}.
Dados fornecidos (peguei as posições diretamente do enunciado):
\begin{aligned} L &= 2,0\\ \mathrm{m},\\\ Q_1 &= +5,0\\ \mathrm{nC}\\ \text{em}\\ (0,0,0),\\\ Q_2 &= -8,0\\ \mathrm{nC}\\ \text{em}\\ (2,0,0),\\\ Q_3 &= +6,0\\ \mathrm{nC}\\ \text{em}\\ (0,2,0),\\\ Q_4 &= -4,0\\ \mathrm{nC}\\ \text{em}\\ (2,2,0). \end{aligned}
O objetivo: calcular a força vetorial resultante \mathbf{F} sobre Q_4 (módulo e direção ou componentes).

Passo 2

Apresentando a lei que vamos usar (fórmula e o que cada símbolo representa). A força eletrostática entre duas cargas pontuais q_a e q_b separadas por uma distância r é dada por
\mathbf{F}_{a\text{ sobre }b} = k\,\frac{q_a q_b}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}_{ab},
onde:
  • k é a constante eletrostática, k=8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}};
  • q_a e q_b são as cargas em coulombs;
  • r é a distância entre as cargas;
  • \hat{\mathbf{r}}_{ab} é o versor (vetor unitário) que aponta de a para b.
    Aqui aplicaremos essa expressão para cada par (Q_i,Q_4), calculando o vetor força de Q_i sobre Q_4 e depois somando vetorialmente.

Passo 3

Converter as cargas de nanocoulomb para coulomb (sempre faça isso antes de calcular):
\begin{aligned} Q_1 &= +5,0\\ \mathrm{nC} = +5{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C},\\\ Q_2 &= -8,0\\ \mathrm{nC} = -8{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C},\\\ Q_3 &= +6{,}0\\ \mathrm{nC} = +6{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C},\\\ Q_4 &= -4{,}0\\ \mathrm{nC} = -4{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}. \end{aligned}

Passo 4

Determinar os vetores posição e os vetores deslocamento \mathbf{r}_{4}-\mathbf{r}_{i} (lembrando: para a força sobre Q_4 devido a Q_i usamos o vetor que vai de Q_i para Q_4, isto é \mathbf{r}_4-\mathbf{r}_i):
Posições (em metros):
\mathbf{r}_1=(0,0),\quad \mathbf{r}_2=(2,0),\quad \mathbf{r}_3=(0,2),\quad \mathbf{r}_4=(2,2).
Vetores deslocamento \mathbf{r}_4-\mathbf{r}_i:
\begin{aligned} \mathbf{r}_4-\mathbf{r}_1 &= (2,2)-(0,0)=(2,2),\\\ \mathbf{r}_4-\mathbf{r}_2 &= (2,2)-(2,0)=(0,2),\\\ \mathbf{r}_4-\mathbf{r}_3 &= (2,2)-(0,2)=(2,0). \end{aligned}

Passo 5

Calcular as distâncias r_{i4}=\lVert\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_i\rVert e os versores \hat{\mathbf{r}}_{i4}=\dfrac{\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_i}{r_{i4}}:
\begin{aligned} r_{14} &= \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad \hat{\mathbf{r}}_{14}=\frac{(2,2)}{2\sqrt{2}}=\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\Big),\\[4pt] r_{24} &= \sqrt{0^2+2^2}=2\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad \hat{\mathbf{r}}_{24}=\frac{(0,2)}{2}=(0,1),\\[4pt] r_{34} &= \sqrt{2^2+0^2}=2\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad \hat{\mathbf{r}}_{34}=\frac{(2,0)}{2}=(1,0). \end{aligned}
Observação de interpretação física rápida (só para entender os sinais): \
  • Se Q_i Q_4>0 a força sobre Q_4 aponta no sentido de \hat{\mathbf{r}}_{i4} (repulsão ou atração dependendo do vetor usado). Estamos usando a fórmula com fator Q_i Q_4 multiplicando o versor \hat{\mathbf{r}}_{i4}, portanto o sinal do produto determina o sentido (positivo -> na direção do versor, negativo -> no sentido oposto).]

Passo 6

Calcular a magnitude de cada força pela expressão escalar
F_{i4}=k\,\frac{|Q_i Q_4|}{r_{i4}^2},
e depois atribuir o sinal/direção pelo produto Q_i Q_4 junto do versor \hat{\mathbf{r}}_{i4}.
Usando k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}:
Para i=1:
\begin{aligned} |Q_1 Q_4| &= (5{,}0\times10^{-9})(4{,}0\times10^{-9})=20{,}0\times10^{-18}=2{,}0\times10^{-17}\\ \mathrm{C^2},\\\ F_{14} &= 8{,}99\times10^{9}\frac{2{,}0\times10^{-17}}{(2\sqrt{2})^2} =8{,}99\times10^{9}\frac{2{,}0\times10^{-17}}{8} = \frac{8{,}99\times10^{9}\times2{,}0\times10^{-17}}{8}\\[4pt] &= \frac{1{,}798\times10^{-7}}{8}=2{,}2475\times10^{-8}\\ \mathrm{N}\\ (\text{módulo}). \end{aligned}ó
Produto Q_1 Q_4=(+5{,}0\times10^{-9})(-4{,}0\times10^{-9})=-2{,}0\times10^{-17}<0, logo a força aponta no sentido oposto a \hat{\mathbf{r}}_{14}. Como \hat{\mathbf{r}}_{14}=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}), o vetor força é:
\mathbf{F}_{1\to4} = -\,2{,}2475\times10^{-8}\cdot\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\Big).
Para i=2:
\begin{aligned} |Q_2 Q_4| &= (8{,}0\times10^{-9})(4{,}0\times10^{-9})=32{,}0\times10^{-18}=3{,}2\times10^{-17}\\ \mathrm{C^2},\\\ F_{24} &= 8{,}99\times10^{9}\frac{3{,}2\times10^{-17}}{2^2} =8{,}99\times10^{9}\frac{3{,}2\times10^{-17}}{4} = \frac{2{,}8768\times10^{-7}}{4}=7{,}192\times10^{-8}\\ \mathrm{N}. \end{aligned}
Produto Q_2 Q_4 = (-8{,}0\times10^{-9})(-4{,}0\times10^{-9})=+3{,}2\times10^{-17}>0, então a força segue \hat{\mathbf{r}}_{24}=(0,1):
\mathbf{F}_{2\to4} = +\,7{,}192\times10^{-8}\cdot(0,1).
Para i=3:
\begin{aligned} |Q_3 Q_4| &= (6{,}0\times10^{-9})(4{,}0\times10^{-9})=24{,}0\times10^{-18}=2{,}4\times10^{-17}\\ \mathrm{C^2},\\\ F_{34} &= 8{,}99\times10^{9}\frac{2{,}4\times10^{-17}}{2^2} = \frac{2{,}1576\times10^{-7}}{4}=5{,}394\times10^{-8}\\ \mathrm{N}. \end{aligned}
Produto Q_3 Q_4=(+6{,}0\times10^{-9})(-4{,}0\times10^{-9})=-2{,}4\times10^{-17}<0, então a força aponta no sentido oposto a \hat{\mathbf{r}}_{34}=(1,0), i.e. para a esquerda:
\mathbf{F}_{3\to4} = -\,5{,}394\times10^{-8}\cdot(1,0).]

Passo 7

Calcular as componentes x e y de cada vetor força:
Para \mathbf{F}_{1\to4}:
\begin{aligned} \mathbf{F}_{1\to4} &= -\,2{,}2475\times10^{-8}\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\[4pt] &= \big(-2{,}2475\times10^{-8}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}},\\\ -2{,}2475\times10^{-8}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big)\\[4pt] &\approx (-1{,}588\times10^{-8},\\\ -1{,}588\times10^{-8})\\ \mathrm{N}. \end{aligned}
Para \mathbf{F}_{2\to4}:
\mathbf{F}_{2\to4} = (0,\\\ 7{,}192\times10^{-8})\\ \mathrm{N}.
Para \mathbf{F}_{3\to4}:
\mathbf{F}_{3\to4} = (-5{,}394\times10^{-8},\\\ 0)\\ \mathrm{N}.]

Passo 8

Somar as componentes para obter a força total \mathbf{F}=\sum_{i=1}^3 \mathbf{F}_{i\to4}:
Componentes x e y:
\begin{aligned} F_x &= -1{,}588\times10^{-8} \;+\; 0 \;+\;(-5{,}394\times10^{-8}) = -6{,}982\times10^{-8}\\ \mathrm{N},\\[4pt] F_y &= -1{,}588\times10^{-8} \;+\; 7{,}192\times10^{-8} \;+\; 0 = 5{,}604\times10^{-8}\\ \mathrm{N}. \end{aligned}
Logo o vetor resultante em componentes:
\mathbf{F}=(-6{,}982\times10^{-8},\\\ 5{,}604\times10^{-8})\\ \mathrm{N}.]

Passo 9

Calcular o módulo e a direção (ângulo com o eixo +x, no plano xy):
Módulo:
\begin{aligned} \lVert\mathbf{F}\rVert &= \sqrt{F_x^2+F_y^2} =\sqrt{(-6{,}982\times10^{-8})^2+(5{,}604\times10^{-8})^2}\\[4pt] &=10^{-8}\sqrt{6{,}982^2+5{,}604^2} \approx 8{,}95\times10^{-8}\\ \mathrm{N}. \end{aligned}
Direção (ângulo \theta medido a partir do eixo +x, no sentido anti-horário):
\theta = \operatorname{atan2}(F_y,F_x).
Aqui \operatorname{atan2}(5{,}604\times10^{-8},-6{,}982\times10^{-8}) dá um ângulo no segundo quadrante. Calculando:
\theta \approx 141{,}3^\circ.
(ou seja, 180^\circ-38{,}7^\circ, pois \arctan\big(\tfrac{5{,}604}{6{,}982}\big)\approx38{,}7^\circ).]

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}=(-6{,}982\times10^{-8}\,\hat{\mathbf{i}}+5{,}604\times10^{-8}\,\hat{\mathbf{j}})\\ \mathrm{N}
\displaystyle |\mathbf{F}|=8{,}95\times10^{-8}\\ \mathrm{N}
\displaystyle \theta\approx141{,}3^\circ

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