Três cargas pontuais estão no plano x y : q_{1}=+2 \mu C em ( 0,3 ) \mathrm{m}, q_{2}=+2 \mu C em ( 0,-3 ) m e q_{3}=-4 \mu C na origem. Determine o vetor força resultante sobre uma carga de prova Q situada em (4,0) \mathrm{m}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedimos: determinar o vetor força resultante sobre uma carga de prova Q situada no ponto (4,0)\\ \mathrm{m}.
  • Cargas pontuais e posições dadas:
    • q_{1}=+2\\ \mu\mathrm{C}=+2\times10^{-6}\\ \mathrm{C} em (0,3)\\ \mathrm{m}.
    • q_{2}=+2\\ \mu\mathrm{C}=+2\times10^{-6}\\ \mathrm{C} em (0,-3)\\ \mathrm{m}.
    • q_{3}=-4\\ \mu\mathrm{C}=-4\times10^{-6}\\ \mathrm{C} em (0,0)\\ \mathrm{m}.
    • Carga de prova Q em (4,0)\\ \mathrm{m} (valor simbólico, manteremos Q na resposta).
  • Constante eletrostática (k): usaremos k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} quando for necessário obter valores numéricos.
  • Objetivo explícito: calcular \vec F_{\text{resultante}}=\vec F_{1}+\vec F_{2}+\vec F_{3}, onde \vec F_{i} é a força exercida pela carga q_{i} sobre Q.

Passo 2

Relembrando e explicando a lei que vamos usar (Coulomb) e como aplicá‑la em vetores.
  • A força elétrica entre duas cargas pontuais q (fonte) e Q (prova), separadas por uma distância r, é dada por:
\vec F = k\,\frac{q\,Q}{r^{2}}\,\hat{r},
onde:
  • k é a constante eletrostática,
  • r é a distância entre as cargas (um número positivo),
  • \hat{r} é o versor (vetor unitário) que aponta de q para Q.
  • Observação importante sobre o sinal: o produto qQ já contém a informação de atração/repulsão. Se qQ>0 a força é repulsiva (o vetor aponta de q para Q); se qQ<0 é atrativa (aponta de q para Q mas com sinal negativo no produto, o vetor aponta no sentido oposto ao versor).
  • Procedimento prático que seguiremos:
    1. Para cada carga q_{i} calculo o vetor posição de Q relativo a q_{i}: \vec r_{i\to Q}=\vec r_{Q}-\vec r_{i}.
    2. Calculo a distância r_{i}=\lVert \vec r_{i\to Q}\rVert.
    3. Obtenho o versor \hat r_{i}=\vec r_{i\to Q}/r_{i}.
    4. Calculo \vec F_{i}=k\,\dfrac{q_{i}Q}{r_{i}^{2}}\,\hat r_{i}.
    5. Somo vetorialmente \vec F_{1}+\vec F_{2}+\vec F_{3}.

Passo 3

Calcular vetores posição, distâncias e versores para cada carga.
  • Posição da carga de prova: \vec r_{Q}=(4,0)\\ \mathrm{m}.
  • Para q_{1} em (0,3): \vec r_{1\to Q}=\vec r_{Q}-\vec r_{1}=(4,0)-(0,3)=(4,-3)\\ \mathrm{m}.Distância: r_{1}=\lVert\vec r_{1\to Q}\rVert=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{m}.Versor: \hat r_{1}=\frac{\vec r_{1\to Q}}{r_{1} }=\frac{1}{5}(4,-3)=\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right).
  • Para q_{2} em (0,-3): \vec r_{2\to Q}=(4,0)-(0,-3)=(4,3)\\ \mathrm{m},
r_{2}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5\\ \mathrm{m},
\hat r_{2}=\frac{1}{5}(4,3)=\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right).
  • Para q_{3} em (0,0): \vec r_{3\to Q}=(4,0)-(0,0)=(4,0)\\ \mathrm{m},
r_{3}=\sqrt{4^{2}+0^{2}}=4\\ \mathrm{m},
\hat r_{3}=\frac{1}{4}(4,0)=(1,0).

Passo 4

Calcular as forças \vec F_{1} e \vec F_{2} (devido às cargas simétricas +2\\ \mu\mathrm{C}).
  • Módulo comum: \frac{q_{1}Q}{r_{1}^{2}}=\frac{(2\times10^{-6})\,Q}{5^{2}}=\frac{2\times10^{-6}}{25}\,Q=8\times10^{-8}\,Q.Logo a força vetorial (com k multiplicando) é \vec F_{1}=k\cdot(8\times10^{-8}\,Q)\,\hat r_{1} =k\,Q\,(8\times10^{-8})\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right).Calculando as componentes: \vec F_{1}=k\,Q\left(8\times10^{-8}\cdot\frac{4}{5},\;8\times10^{-8}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)\right) =k\,Q\left(6{,}4\times10^{-8},\;-4{,}8\times10^{-8}\right).
  • Para q_{2} (mesma magnitude, simetria em y): \vec F_{2}=k\,Q\,(8\times10^{-8})\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right) =k\,Q\left(6{,}4\times10^{-8},\;4{,}8\times10^{-8}\right).
  • Somando \vec F_{1}+\vec F_{2}:
    • Componente x: 6{,}4\times10^{-8}+6{,}4\times10^{-8}=1{,}28\times10^{-7}, multiplicada por k\,Q.
    • Componente y: -4{,}8\times10^{-8}+4{,}8\times10^{-8}=0. (as componentes y se cancelam por simetria)
    \vec F_{1}+\vec F_{2}=k\,Q\left(1{,}28\times10^{-7},\;0\right).

Passo 5

Calcular a força \vec F_{3} (devida a q_{3}=-4\\ \mu\mathrm{C}).
  • Módulo (com sinal incluído via q_{3}): \frac{q_{3}Q}{r_{3}^{2}}=\frac{(-4\times10^{-6})\,Q}{4^{2}}=\frac{-4\times10^{-6}}{16}\,Q=-2{,}5\times10^{-7}\,Q.
  • Versor \hat r_{3}=(1,0). Então \vec F_{3}=k\cdot\bigl(-2{,}5\times10^{-7}\,Q\bigr)\,(1,0)=k\,Q\left(-2{,}5\times10^{-7},\;0\right).Observação física: como q_{3} é negativa, se Q>0 a força será de atração, isto é, dirigida para a esquerda (componente x negativa) — e isso aparece no sinal negativo acima.

Passo 6

Somar todas as forças para obter a resultante.
  • Soma das componentes x: F_{x}=k\,Q\left(1{,}28\times10^{-7}\right)+k\,Q\left(-2{,}5\times10^{-7}\right) =k\,Q\left(1{,}28\times10^{-7}-2{,}5\times10^{-7}\right).
1{,}28\times10^{-7}-2{,}5\times10^{-7}=-1{,}22\times10^{-7}.
Logo
F_{x}=k\,Q\left(-1{,}22\times10^{-7}\right).
  • Soma das componentes y: F_{y}=0+0=0.
  • Assim o vetor resultante é \vec F_{\text{res}}=k\,Q\left(-1{,}22\times10^{-7},\;0\right).

Passo 7

Converter para uma forma numérica (substituindo k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}) e interpretar direção.
  • Multiplicando o fator numérico: 8{,}99\times10^{9}\times1{,}22\times10^{-7}=8{,}99\times1{,}22\times10^{2}\approx10{,}9578\times10^{2}=1{,}095{,}78\times10^{3}.Aproximando a três algarismos significativos: k\cdot(1{,}22\times10^{-7})\approx1{,}096\times10^{3}.
  • Portanto, em forma numérica: \vec F_{\text{res}}\approx(-1{,}096\times10^{3}\,Q,\;0)\\ \mathrm{N}.Isto é, a força resultante aponta para a esquerda (direção negativa do eixo x). Se Q>0 a força tem sentido para a origem; se Q<0 o sentido seria invertido (pois o produto com Q mudaria de sinal).

Resposta

\displaystyle \vec F_{\text{res}}=k\,Q\left(-1{,}22\times10^{-7},\;0\right)
\displaystyle \vec F_{\text{res}}\approx(-1{,}096\times10^{3}\,Q,\;0)\\ \mathrm{N}

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