Três cargas puntiformes são posicionadas sobre o eixo x: q1 na origem, q2 em x=2,0 m e q3 em x=16,0 m. Se q1=q2=2,0 mu C e q3=-2,0 mu C
Determine o campo elétrico em x=0, y=3,0 m;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos três cargas puntiformes posicionadas no eixo $ x $:
  • $ q_{1} = 2,0 , \mu C $ na origem ($ x = 0 $)
  • $ q_{2} = 2,0 , \mu C $ em $ x = 2,0 , m $
  • $ q_{3} = -2,0 , \mu C $ em $ x = 16,0 , m $
Queremos determinar o campo elétrico no ponto $ (0, 3,0 , m) $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de superposição dos campos elétricos gerados por cada carga separadamente e depois somá-los vetorialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é campo elétrico. O campo elétrico ($ \vec{E} $) é uma região do espaço onde uma carga elétrica experimenta uma força. Ele é gerado por cargas elétricas e pode ser calculado usando a fórmula:
E
onde:
  • $ k $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $)
  • $ q $ é a carga que gera o campo
  • $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo
  • $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção que conecta a carga ao ponto de interesse
Vamos calcular o campo elétrico devido a cada carga no ponto $ (0, 3,0 , m) $.

Passo 3

Campo Elétrico devido a $ q_{1} $:
$ q_{1} = 2,0 , \mu C = 2,0 \times 10^{-6} , C $
A distância entre $ q_{1} $ e o ponto $ (0, 3,0) $ é $ r_{1} = 3,0 , m $.
Usando a fórmula do campo elétrico:
q1
A direção de $ \vec{E}{1} $ é para cima, já que $ q{1} $ é positiva e o campo aponta para longe da carga.

Passo 4

Campo Elétrico devido a $ q_{2} $:
$ q_{2} = 2,0 , \mu C = 2,0 \times 10^{-6} , C $
A posição de $ q_{2} $ é $ x = 2,0 , m $. O ponto de interesse está em $ x = 0, y = 3,0 , m $. Para calcular a distância $ r_{2} $:
q2
O ângulo $ \theta $ entre a linha que conecta $ q_{2} $ ao ponto e o eixo $ x $ é:
q2 = 2,0 , mu C = 2,0 times 10^-6 , C
Calculando o campo elétrico:
q2
A direção de $ \vec{E}{2} $ é na direção que vai de $ q{2} $ para o ponto, já que $ q_{2} $ é positiva.
Vamos decompor $ E_{2} $ em componentes $ x $ e $ y $:
x = 2,0 , m
x = 0, y = 3,0 , m

Passo 5

Campo Elétrico devido a $ q_{3} $:
$ q_{3} = -2,0 , \mu C = -2,0 \times 10^{-6} , C $
A posição de $ q_{3} $ é $ x = 16,0 , m $. A distância $ r_{3} $ entre $ q_{3} $ e o ponto $ (0, 3,0) $ é:
q3
O ângulo $ \phi $ entre a linha que conecta $ q_{3} $ ao ponto e o eixo $ x $ é:
q3 = -2,0 , mu C = -2,0 times 10^-6 , C
Calculando o campo elétrico:
q3
Como $ q_{3} $ é negativa, a direção de $ \vec{E}{3} $ é direcionada para a carga, ou seja, aponta na direção oposta à da linha que conecta $ q{3} $ ao ponto.
Vamos decompor $ E_{3} $ em componentes $ x $ e $ y $:
x = 16,0 , m
r3

Passo 6

Agora, vamos somar os campos elétricos vetorialmente. Primeiro, somamos as componentes $ x $:
x
Em seguida, somamos as componentes $ y $:
Etotalx = E2x + E3x = 767 , N/C - 667,9 , N/C = 99,1 , N/C

Passo 7

Para encontrar o campo elétrico total ($ \vec{E}_{total} $) no ponto, usamos as componentes somadas:
Etotal
A magnitude do campo elétrico total é:
Etotal = Etotalx i + Etotaly j = 99,1 , N/C i + 3,029 times 10^3 , N/C j
A direção do campo elétrico é dada pelo ângulo $ \alpha $ com o eixo $ x $:
|Etotal| = raiz(99,1)^2 + (3,029 times 10^3)^2 approx raiz9,82 times 10^3 + 9,176 times 10^6 approx raiz9,185 times 10^6 approx 3,030 times 10^3 , N/C

Resposta

O campo elétrico no ponto $ (0, 3,0 , m) $ é aproximadamente $ 3,03 \times 10^3 , N/C $ com direção de $ 88,16^\circ $ em relação ao eixo $ x $.

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