Deduza a expressão para o campo elétrico \vec{E} de um dipolo (cargas \pm q separadas por d no eixo z ) para um ponto genérico (x, y, z) usando coordenadas polares esféricas, assumindo r \gg d.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
Pede: deduzir a expressão para o campo elétrico \vec{E} criado por um dipolo formado por cargas \pm q separadas por uma distância d ao longo do eixo z, em um ponto genérico de coordenadas cartesianas (x,y,z), usando coordenadas polares esféricas e assumindo r\gg d.
Dados geométricos:
Carga +q em z=+d/2.
Carga -q em z=-d/2.
Ponto de observação com vetor posição \vec{r} e coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), onde r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} e \cos\theta = z/r.
Objetivo específico: obter \vec{E} válido no regime de campo distante (approx. dipolar, r\gg d), expresso em componentes esféricas (ou forma vetorial usual).
Passo 2
Escrevendo as distâncias exatas do ponto até cada carga e a expressão para o potencial elétrico somado.
Distâncias do ponto \vec{r} até as cargas:r_{+}=\left|\vec{r}-\frac{d}{2}\hat{z}\right|=\sqrt{r^{2}-r d\cos\theta+\left(\frac{d}{2}\right)^{2}},
(Aqui usei r=\|\vec r\| e o produto escalar \hat z\cdot\hat r=\cos\theta.)
Potencial elétrico total (superposição de potenciais de pontos):V(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r_{+}}-\frac{q}{r_{-}}\right).Defino também a constantek=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
Passo 3
Fazer a aproximação para r\gg d — expandir r_{\pm} e 1/r_{\pm} até a ordem necessária.
Introduzo \varepsilon=\frac{d}{2}\cos\theta. Então, para r\gg d,r_{+}\approx r-\varepsilon,\qquad r_{-}\approx r+\varepsilon,pois os termos de ordem (d/r)^2 e superiores podem ser desprezados.
Uso a expansão em série para 1/(r\pm\varepsilon) válida quando \varepsilon\ll r:\frac{1}{r\pm\varepsilon}=\frac{1}{r}\frac{1}{1\pm\varepsilon/r}\approx\frac{1}{r}\left(1\mp\frac{\varepsilon}{r}+\ldots\right).
Assim, a diferença das inversas fica (mantendo só o termo de primeira ordem em \varepsilon):\frac{1}{r_{+}}-\frac{1}{r_{-}}\approx \frac{1}{r}\Big(1+\frac{\varepsilon}{r}\Big)-\frac{1}{r}\Big(1-\frac{\varepsilon}{r}\Big)=\frac{2\varepsilon}{r^{2}}.
Identificar o momento dipolar e escrever o potencial dipolar aproximado.
Defino o momento dipolar \vec{p} (magnitude e direção):\vec{p}=q\,d\,\hat{z},\qquad p\equiv qd.
Substituindo na expressão do potencial e usando a aproximação do passo anterior:V(\vec r)\approx k\,q\;\frac{d\cos\theta}{r^{2}}=k\;\frac{p\cos\theta}{r^{2}}.
Observação didática: essa é a forma monopolo-cancelada (cargas +q e -q) e mostra que, no exterior ao par de cargas com r\gg d, o primeiro termo não nulo da expansão multipolar é o dipolar, com dependência 1/r^{2} do potencial.
Passo 5
Calcular o campo elétrico a partir do potencial: \vec{E}=-\nabla V. Lembrar e usar a forma do gradiente em coordenadas esféricas quando V=V(r,\theta) (sem dependência em \varphi).
Fórmula do gradiente (caso azimutalmente simétrico, sem \varphi):\nabla V = \hat r\,\frac{\partial V}{\partial r} + \hat\theta\,\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta}.
Derivar explicitamente as derivadas parciais de V(r,\theta)=k\,\dfrac{p\cos\theta}{r^{2}}.
Derivada em relação a r:\frac{\partial V}{\partial r}=k\,p\cos\theta\;\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{-2}\right)=k\,p\cos\theta\;(-2)r^{-3}=-2k\frac{p\cos\theta}{r^{3}}.
Derivada em relação a \theta:\frac{\partial V}{\partial\theta}=k\,p\;\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{\cos\theta}{r^{2}}\right)=k\,p\; \frac{-\sin\theta}{r^{2}}=-k\frac{p\sin\theta}{r^{2}}.
Passo 7
Substituir as derivadas em \vec E=-\nabla V e escrever os componentes esféricos.
Portanto, em base esférica:\vec E(\vec r)=k\frac{p}{r^{3}}\Big(2\cos\theta\,\hat r+\sin\theta\,\hat\theta\Big).
Passo 8
Apresentar também a forma vetorial usual em termos de \vec p e \hat r, e a forma em termos de x,y,z (útil para checar com coordenadas cartesianas).
Forma vetorial padrão (válida para dipolo em general \vec p, aqui \vec p=p\hat z):\vec E(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^{3}}\Big(3(\vec p\cdot\hat r)\,\hat r-\vec p\Big).(Esta forma é algebraicamente equivalente à expressão esférica acima; basta usar \vec p\cdot\hat r=p\cos\theta.)
Em termos de coordenadas cartesianas, usando \cos\theta=z/r e p=qd:\vec E(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qd}{r^{3}}\left( \frac{3z}{r}\,\hat r-\hat z\right),ou escrevendo \hat r=(x\hat i+y\hat j+z\hat k)/r,\vec E(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qd}{r^{5}}\Big(3z(x\hat i+y\hat j+z\hat k)-r^{2}\hat z\Big).Expandindo em componentes cartesianas se desejar:\vec E(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qd}{r^{5}}\big(3xz\,\hat i+3yz\,\hat j+(3z^{2}-r^{2})\,\hat k\big).