As três equaçōes exponenciais a seguir podem ser resolvidas por meio de equaçōes do 2^{\circ} grau. Determine 0 conjunto-solução de cada uma dessas equações.
5^{2 x}-24 \cdot 5^{x}-25=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
5^{2x} - 24 \cdot 5^{x} - 25 = 0
usando o método de redução a uma equação do segundo grau. Vamos precisar fazer a substituição t = 5^{x}, sabendo que t>0.

Passo 2

Fazendo t = 5^{x}, a expressão 5^{2x} fica (5^{x})^{2} = t^{2}. Assim, a equação torna-se
t^{2} \;-\; 24\,t \;-\; 25 \;=\; 0.

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática
t^{2} - 24t - 25 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-24)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676.
Logo, as raízes são
t = \frac{24 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{24 \pm 26}{2},
isto é,
t_{1} = \frac{24 + 26}{2} = 25, \quad t_{2} = \frac{24 - 26}{2} = -1.

Passo 4

Como t = 5^{x} deve ser positivo, descartamos t_{2} = -1. Fica então
5^{x} = 25.
Sabendo que 25 = 5^{2}, temos
5^{x} = 5^{2} \quad\Longrightarrow\quad x = 2.

Resposta

\{2\}

Exercícios relacionados