Três estrelas de mesma massa M, sujeitas apenas à força gravitacional, estão separadas por uma distância D (ocupando os vértices de um triângulo equilátero de lado D ) e giram em torno do centro de massa do sistema. Seja G a constante gravitacional.
Calcula a energia potencial gravitacional do sistema.

Passo 1

Então, turma, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre três estrelas com a mesma massa, organizadas nos vértices de um triângulo equilátero, todas separadas por uma distância D. Elas estão girando em torno do centro de massa e só estão sujeitas à força gravitacional. Nosso objetivo aqui é calcular a energia potencial gravitacional desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia potencial gravitacional entre pares de massas e depois somar tudo pra ter a energia total do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia potencial gravitacional entre duas massas. A fórmula é:
U = - G cdot m1 cdot m2r
Onde:
  • $ U $ é a energia potencial gravitacional,
  • $ G $ é a constante gravitacional,
  • $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas das duas estrelas,
  • $ r $ é a distância entre elas.
O sinal negativo indica que a energia é de natureza atrativa.

Passo 3

No nosso caso, todas as três estrelas têm a mesma massa, que chamaremos de $ M $, e a distância entre cada par de estrelas é $ D $. Como temos três estrelas, precisamos considerar todas as combinações possíveis de pares para calcular a energia total.

Passo 4

Vamos identificar quantos pares de estrelas temos. Com três estrelas, os pares são:
  1. Estrela 1 e Estrela 2
  2. Estrela 1 e Estrela 3
  3. Estrela 2 e Estrela 3
Então, temos 3 pares no total.

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional de cada par usando a fórmula que vimos:
Para cada par:
Upar = - G cdot M cdot MD = - G M^2D

Passo 6

Como todas as três interações são iguais (mesma massa e mesma distância), a energia total do sistema será a soma das energias de todos os pares:
Utotal = 3 cdot ( - G M^2D ) = - 3 G M^2D

Resposta

A energia potencial gravitacional do sistema é:
U = - 3 G M^2D

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