(3,5) Três finalistas de um reality show encontram-se no centro de um campo plano e grande. Cada competidor recebe uma barra de um metro, uma bússola, uma calculadora, uma pá e (em ordens diferentes
para cada competidor) os três deslocamentos seguintes:
\vec{A}: 72,4 \mathrm{~m}, 32,0^{\circ} do norte para o leste
\vec{B}: 57,3 \mathrm{~m}, 36,0^{\circ} do oeste para o sul
\vec{C} : 17,8 \mathrm{~m} do norte para o sul
Os três deslocamentos levam a um ponto onde as chaves de um Porsche novo foram enterradas. Dois competidores começam imediatamente a fazer mediçōes, porém a vencedora foi quem realizou cálculos antes das medidas. O que ela calculou? (Dica: Obtenha o vetor deslocamento em termos da notação módulo-ângulo).

Passo 1

O enunciado dá três deslocamentos em módulo‐ângulo e pede o vetor resultante também em módulo‐ângulo.
Conteúdo: decomposição em componentes cartesianas, soma de vetores e conversão para forma polar (módulo e ângulo de rumo).

Passo 2

Escolhemos o eixo x para leste e o eixo y para norte.
O vetor \vec A tem módulo 72{,}4 m e rumo 32^\circ de norte para leste, logo
A_x = 72{,}4\sin32^\circ, \qquad A_y = 72{,}4\cos32^\circ.
O vetor \vec B tem módulo 57{,}3 m e rumo 36^\circ de oeste para sul. Oeste é eixo x negativo, sul é y negativo, então
B_x = -\,57{,}3\cos36^\circ, \qquad B_y = -\,57{,}3\sin36^\circ.
O vetor \vec C de 17{,}8 m “do norte para o sul” é simplesmente ao sul, isto é
C_x = 0, \qquad C_y = -\,17{,}8.

Passo 3

Calculando numericamente (usando \sin32^\circ\approx0{,}5299, \cos32^\circ\approx0{,}8480, \sin36^\circ\approx0{,}5880, \cos36^\circ\approx0{,}8090):
A_x \approx 72{,}4\cdot0{,}5299 = 38{,}36, \quad A_y \approx 72{,}4\cdot0{,}8480 = 61{,}43,
B_x \approx -57{,}3\cdot0{,}8090 = -46{,}38, \quad B_y \approx -57{,}3\cdot0{,}5880 = -33{,}68,
C_x = 0, \quad C_y = -17{,}8.

Passo 4

Somamos componentes:
R_x = A_x + B_x + C_x = 38{,}36 - 46{,}38 + 0 = -\,8{,}02,
R_y = A_y + B_y + C_y = 61{,}43 - 33{,}68 - 17{,}8 = 9{,}95.

Passo 5

O módulo do vetor resultante é
R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-8{,}02)^2 + (9{,}95)^2} \approx 12{,}78\text{ m}.
Para o ângulo, notamos R_x<0 e R_y>0, ou seja quadrante Noroeste. O rumo é medido a partir do norte em direção ao oeste:
\theta = \arctan\!\biggl(\frac{|R_x|}{R_y}\biggr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{8{,}02}{9{,}95}\bigr) \approx 39{,}0^\circ.

Resposta

O deslocamento total é de aproximadamente 12{,}8 m com rumo de 39{,}0^\circ de norte para o oeste.

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