Um veículo robótico está explorando a superficie de Marte. 0 módulo de aterrissagem e a origem do sistema de coordenadas e a superficie do planeta e o plano xy-O veículo, que será representado por um ponto, possui componentes x e y que variam com o tempo de acordo com a seguinte relação:
\begin{gathered} x=2,0 \mathrm{~m} \cdot\left(0,25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) . t^{2} \\\ y=(1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) . t+\left(0,025 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) . t^{2} \end{gathered}
(a) (0,75) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem no instante 1= 2 s .
(b) (1,0) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo entre t=0,0 \mathrm{~s} e t=2,0 \mathrm{~s}. (c) (1,5) Deduza uma expressão geral para o vetor velocidade instantânea do vetor v. Expresse a velocidade instantânea emt =2,0 \mathrm{~s}, usando componentes e também em termos de módulo e direção.
(d) (0,75) Determine a aceleração instantânea no instante t=2,0 \mathrm{~s} na notação de vetores unitários.

Passo 1

O enunciado trata de cinemática no plano: um robô em coordenadas (x,y) parte da origem no instante t=0. As funções posição são
x(t) = (2{,}0\\ \mathrm{m})\cdot(0{,}25\\ \mathrm{m/s}^2)\;t^2,
y(t) = (1{,}0\\ \mathrm{m/s})\;t \;+\;(0{,}025\\ \mathrm{m/s}^3)\;t^2.
Vamos usar essas expressões para (a) achar x(2), y(2) e a distância até a origem; (b) definir o vetor deslocamento e a velocidade média de 0 a 2 s; (c) obter \mathbf v(t)=\dfrac{d\mathbf r}{dt}, depois avaliar em t=2 e dar módulo e direção; (d) calcular \mathbf a(t)=\dfrac{d\mathbf v}{dt} em t=2.

Passo 2

(a) Em t=2{,}0\\ \mathrm{s} temos
x(2)=2{,}0\cdot0{,}25\cdot(2)^2=0{,}5\cdot4=2{,}0\\ \mathrm{m},
y(2)=1{,}0\cdot2+0{,}025\cdot(2)^2=2{,}0+0{,}025\cdot4=2{,}1\\ \mathrm{m}.
A distância até a origem é
d=\sqrt{[x(2)]^2+[y(2)]^2} =\sqrt{(2{,}0)^2+(2{,}1)^2} =\sqrt{4+4{,}41} =\sqrt{8{,}41}\approx2{,}90\\ \mathrm{m}.

Passo 3

(b) O vetor deslocamento de t=0 a t=2 é
\Delta \mathbf r =\bigl(x(2)-x(0),\,y(2)-y(0)\bigr) =(2{,}0-0,\;2{,}1-0) =(2{,}0,\;2{,}1)\\ \mathrm{m}.
A velocidade média é
\mathbf v_{\rm m} =\frac{\Delta \mathbf r}{\Delta t} =\frac{(2{,}0,\;2{,}1)}{2{,}0} =(1{,}0,\;1{,}05)\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

(c) O vetor posição é \mathbf r(t)=(x(t),y(t)). Definimos a velocidade instantânea como derivada:
\mathbf v(t) =\frac{d\mathbf r}{dt} =\bigl(\dot x(t),\,\dot y(t)\bigr).
Daí
\dot x(t) =\frac{d}{dt}\bigl[0{,}5\,t^2\bigr] =1{,}0\,t, \quad \dot y(t) =\frac{d}{dt}\bigl[1{,}0\,t+0{,}025\,t^2\bigr] =1{,}0+0{,}05\,t.
Logo
\mathbf v(t) =(1{,}0\,t,\;1{,}0+0{,}05\,t)\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

(c) em t=2{,}0\\ \mathrm{s} vale
\mathbf v(2) =(1{,}0\cdot2,\;1{,}0+0{,}05\cdot2) =(2{,}0,\;1{,}1)\\ \mathrm{m/s}.
O módulo é
|\mathbf v(2)| =\sqrt{(2{,}0)^2+(1{,}1)^2} =\sqrt{4+1{,}21} =\sqrt{5{,}21} \approx2{,}28\\ \mathrm{m/s},
e a direção (ângulo com o eixo x)
\theta =\arctan\!\bigl(\tfrac{v_y}{v_x}\bigr) =\arctan\!\bigl(\tfrac{1{,}1}{2{,}0}\bigr) \approx29^\circ.

Passo 6

(d) A aceleração instantânea é \mathbf a(t)=\dot{\mathbf v}(t). Das componentes de \mathbf v(t) temos
a_x=\frac{d}{dt}(1{,}0\,t)=1{,}0, \quad a_y=\frac{d}{dt}(1{,}0+0{,}05\,t)=0{,}05.
Como são constantes, em t=2 vale
\mathbf a(2) =(1{,}0,\;0{,}05)\\ \mathrm{m/s^2} =1{,}0\,\hat\imath+0{,}05\,\hat\jmath\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

(a) \,(x,y)=(2{,}0,\;2{,}1)\\ \mathrm{m},\quad d\approx2{,}90\\ \mathrm{m}.
(b) \Delta \mathbf r=(2{,}0,\;2{,}1)\\ \mathrm{m},\quad \mathbf v_{\rm m}=(1{,}0,\;1{,}05)\\ \mathrm{m/s}.
(c) \mathbf v(t)=(1{,}0\,t,\;1{,}0+0{,}05\,t)\\ \mathrm{m/s}; em t=2, \mathbf v=(2{,}0,\;1{,}1)\\ \mathrm{m/s}, |\mathbf v|\approx2{,}28\\ \mathrm{m/s}, \theta\approx29^\circ.
(d) \mathbf a(2)=1{,}0\,\hat\imath+0{,}05\,\hat\jmath\\ \mathrm{m/s^2}.

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