Três forças são aplicadas a uma barra que pode girar em torno de um eixo fixo no seu ponto central. Uma força atua sobre o ponto central, a segunda a 10 cm à esquerda do ponto central e a terceira a 5 cm à direita. As três forças fazem um ângulo reto com a barra. Se a força que atua no centro for para cima e as outras duas para baixo, em que situações a barra pode estar em equilíbrio estático?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra que pode girar em torno de um eixo fixo no meio dela. Três forças estão atuando nessa barra: uma no centro para cima, uma a 10 cm à esquerda para baixo e outra a 5 cm à direita também para baixo. Tudo está formando ângulos retos com a barra. Nosso objetivo é descobrir em quais situações essa barra pode ficar em equilíbrio estático. Para isso, vamos usar os conceitos de equilíbrio de forças e equilíbrio de torques.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é equilíbrio estático. Isso significa que a barra não está se movendo nem girando. Para que isso aconteça, duas condições precisam ser satisfeitas:
  1. Equilíbrio de Forças: A soma de todas as forças atuando na barra deve ser zero. Isso evita que a barra se mova para cima ou para baixo.
  2. Equilíbrio de Torques: A soma de todos os torques (forças que causam rotação) em relação ao ponto de apoio (o eixo fixo no centro) também deve ser zero. Isso evita que a barra gire.

Passo 3

Vamos começar pelo equilíbrio de forças. Temos três forças atuando na barra:
  • $ F_c $ no centro para cima.
  • $ F_a $ a 10 cm à esquerda para baixo.
  • $ F_b $ a 5 cm à direita para baixo.
Como todas estão na vertical, somamos as forças:
Fc
Isso significa que a força para cima no centro deve ser igual à soma das forças para baixo nas duas extremidades.

Passo 4

Agora, vamos para o equilíbrio de torques. O torque é calculado pela fórmula:
tau = F times d
onde $ F $ é a força e $ d $ é a distância do ponto de aplicação ao eixo de rotação.
Considerando o eixo no centro da barra:
  • A força $ F_a $ está a 10 cm à esquerda, então seu torque é $ \tau_a = F_a \times 10 , cm $ (para baixo gera torque no sentido horário).
  • A força $ F_b $ está a 5 cm à direita, então seu torque é $ \tau_b = F_b \times 5 , cm $ (para baixo gera torque no sentido anti-horário).
Para que a barra esteja em equilíbrio, o torque total deve ser zero:
F
Substituindo:
d

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre $ F_a $ e $ F_b $:
Fa
Isso significa que a força $ F_a $ deve ser metade da força $ F_b $ para que os torques se equilibrem.

Passo 6

Agora, lembrando do equilíbrio de forças que encontramos:
Fc = Fa + Fb
Substituindo $ F_a = \frac{F_b}{2} $:
Fa = Fb2
Ou seja, a força no centro $ F_c $ deve ser 1,5 vezes a força $ F_b $.

Passo 7

Resumindo, para que a barra esteja em equilíbrio estático:
  • A força no centro $ F_c $ deve ser 1,5 vezes a força $ F_b $.
  • A força $ F_a $ deve ser metade da força $ F_b $.
Isso garante que tanto as forças quanto os torques estejam equilibrados, mantendo a barra estática.

Resposta

A barra estará em equilíbrio estático quando a força no centro for 1,5 vezes a força aplicada a 5 cm à direita e a força a 10 cm à esquerda for metade da força aplicada à direita. Ou seja:
Fc = 32 Fb e Fa = 12 Fb

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