Três funções y1(t), y2(t) e y3(t) são consideradas linearmente dependentes de um intervalo I se, em I, pelo menos uma dessas funções for uma combinação linear das duas restantes [por exemplo, se y1(t) =c1 y2(t)+c2 y3(t)]. De modo equivalente (compare com o Problema 33), y1, y2 e y3 são linearmente dependentes de I se houver constantes C1, C2 e C3, não todas zero, tais que
C1 y1(t)+C2 y2(t)+C3 y3(t)=0 para todo t em I
Caso contrário, dizemos que essas funções são linearmente independentes em I.
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em (-infty, infty) :
y1(t)=-3, y2(t)=5 sen^2 t, y3(t)=cos ^2 t.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se as funções
y1(t)=-3, y2(t)=5sin^2t, y3(t)=cos^2t
são linearmente dependentes em (-infty,infty). Vamos usar a definição: elas são dependentes se existem constantes C1,C2,C3, não todas zero, tais que
C1y1(t)+C2y2(t)+C3y3(t)=0
para todo t.

Passo 2

Lembrando a identidade trigonométrica fundamental, temos
sin^2t+cos^2t=1
Multiplicando por 5 obtemos
5sin^2t+5cos^2t=5,
ou seja,
5sin^2t+5cos^2t-5=0

Passo 3

Reescrevendo cada termo em função de y1,y2,y3:
  • 5sin^2t = y2(t),
  • 5cos^2t = 5,y3(t),
  • -5 = 53,y1(t) (pois y1(t)=-3).
    Logo a identidade fica
53,y1(t)+1cdot y2(t)+5cdot y3(t)=0
para todo t.

Passo 4

Encontramos constantes
C1=53, C2=1, C3=5,
não todas zero, que satisfazem
C1y1(t)+C2y2(t)+C3y3(t)=0
em todo o domínio. Portanto as funções são linearmente dependentes.

Resposta

As três funções são linearmente dependentes em (-infty,infty).

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