Três funções
,
e
são consideradas linearmente dependentes de um intervalo
se, em
, pelo menos uma dessas funções for uma combinação linear das duas restantes [por exemplo, se
]. De modo equivalente (compare com o Problema 33),
e
são linearmente dependentes de
se houver constantes
e
, não todas zero, tais que
Caso contrário, dizemos que essas funções são linearmente independentes em
.
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em
:
.
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em
Passo 1
O enunciado pede para decidir se as funções
são linearmente dependentes em
. Vamos usar a definição: elas são dependentes se existem constantes
, não todas zero, tais que
para todo
.
Passo 2
Lembrando a identidade trigonométrica fundamental, temos
Multiplicando por
obtemos
ou seja,
Passo 3
Reescrevendo cada termo em função de
:
-
, -
, -
(pois ).
Logo a identidade fica
para todo
.
Passo 4
Encontramos constantes
não todas zero, que satisfazem
em todo o domínio. Portanto as funções são linearmente dependentes.
Resposta
As três funções são linearmente dependentes em
.