Três funções y1(t), y2(t) e y3(t) são consideradas linearmente dependentes de um intervalo I se, em I, pelo menos uma dessas funções for uma combinação linear das duas restantes [por exemplo, se y1(t) =c1 y2(t)+c2 y3(t)]. De modo equivalente (compare com o Problema 33), y1, y2 e y3 são linearmente dependentes de I se houver constantes C1, C2 e C3, não todas zero, tais que
C1 y1(t)+C2 y2(t)+C3 y3(t)=0 para todo t em I
Caso contrário, dizemos que essas funções são linearmente independentes em I.
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em (-infty, infty) :
y1(t)=e^t, y2(t)=t e^t, y3(t)=t^2 e^t.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se as funções
;y1(t)=e^t,;y2(t)=t,e^t,;y3(t)=t^2e^t
são linearmente dependentes ou independentes em (-infty,infty).
O conteúdo é teste de independência linear de soluções de EDOs ou de funções em geral. Vamos usar o fato de que e^tneq0 para simplificar o teste.

Passo 2

Observe que, como e^t nunca se anula, qualquer combinação
C1y1(t)+C2y2(t)+C3y3(t)=0
para todo t pode ser dividida por e^t, dando
C1cdot1 + C2,t + C3,t^2 = 0para todo t

Passo 3

A expressão
C1 + C2,t + C3,t^2=0
só pode ser identicamente zero se
C1=0, C2=0, C3=0,
pois os monômios 1,t,t^2 são linearmente independentes como polinômios. Logo não existe combinação não trivial que anule todas as yi.

Resposta

As funções e^t,;t,e^t,;t^2e^t são linearmente independentes em (-infty,infty).

Exercícios relacionados