Três funções
,
e
são consideradas linearmente dependentes de um intervalo
se, em
, pelo menos uma dessas funções for uma combinação linear das duas restantes [por exemplo, se
]. De modo equivalente (compare com o Problema 33),
e
são linearmente dependentes de
se houver constantes
e
, não todas zero, tais que
Caso contrário, dizemos que essas funções são linearmente independentes em
.
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em
:
.
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em
Passo 1
O enunciado pede para decidir se as funções
são linearmente dependentes ou independentes em .
O conteúdo é teste de independência linear de soluções de EDOs ou de funções em geral. Vamos usar o fato de que para simplificar o teste.
são linearmente dependentes ou independentes em
O conteúdo é teste de independência linear de soluções de EDOs ou de funções em geral. Vamos usar o fato de que
Passo 2
Observe que, como
nunca se anula, qualquer combinação
para todo
pode ser dividida por
, dando
Passo 3
A expressão
só pode ser identicamente zero se
pois os monômios
são linearmente independentes como polinômios. Logo não existe combinação não trivial que anule todas as
.
Resposta
As funções
são linearmente independentes em
.