Três máquinas A, B e C apresentam respectivamente 10 %, 20% e 30 % de peças defeituosas na sua produção. A máquina A produz o equivalente a 40 % da produção diária; a máquina B, 25 %; a máquina C, 35 %. Ao final de um dia, as peças são misturadas. Selecionando-se uma destas peças ao acaso e, verificando-se que era defeituosa, qual a probabilidade de ter vindo da máquina B ? ( R : 0,256 - Teorema de Bayes)

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos três máquinas (A, B e C) produzindo peças, cada uma com uma taxa de defeito diferente (10%, 20% e 30%) e participações distintas na produção diária (40%, 25% e 35%). No fim do dia misturam tudo e a gente pega uma peça ao acaso: ela é defeituosa. A pergunta é “qual a probabilidade de essa peça ter saído da máquina B?”.
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar:
  • Definir eventos (por exemplo, D = peça defeituosa, B = veio da máquina B).
  • Calcular a probabilidade total de tirar uma peça defeituosa.
  • Aplicar a fórmula de Bayes P(B|D)=dfracP(D|B),P(B)P(D).

Passo 2

Definindo eventos e anotando as probabilidades conhecidas:
  • P(A)=0,40,;P(B)=0,25,;P(C)=0,35 (participação de cada máquina).
  • P(D|A)=0,10,;P(D|B)=0,20,;P(D|C)=0,30 (prob. de defeito em cada máquina).
    O Teorema da Probabilidade Total diz que
P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C)

Passo 3

Calcular P(D) passo a passo:
  • De A: P(D|A)P(A) = 0,10 times 0,40 = 0,04.
  • De B: P(D|B)P(B) = 0,20 times 0,25 = 0,05.
  • De C: P(D|C)P(C) = 0,30 times 0,35 = 0,105.
    Somando tudo:
P(D) = 0,04 + 0,05 + 0,105 = 0,195

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para achar P(B|D):
P(B|D) = P(D|B),P(B)P(D) = 0,20 times 0,250,195 = 0,050,195 approx 0,2564

Resposta

A probabilidade de a peça defeituosa ter vindo da máquina B é aproximadamente 0,256, (ou 25,6%).

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